01揹包：
01揹包之所以叫做01揹包，是因為對於每件物品，都只有兩種情況：要或不要

例題：01揹包

分析：每種物品只有兩種情況：要或不要，典型的01揹包

狀態：f[i][v]:前 i 件物品放在 v 空間內產生的最大價值

推導方程：

當第 i 件物品放時：f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+c[i] (即：前 i-1 件物品放在 （j-第 i 件物品所佔空間）時的最大價值 + 第 i 件物品的價值）
不放時：f[i]=f[i-1][j](即：前 i-1 件物品放在 j 空間中的最大值）
又因為要取最大價值，所以：f[i][j]=max(f[i-1][j-w[i]]+c[i],f[i-1][j])

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int f[1000][1000];
int w[100100],c[100100];
int main()
{
	cin>>m>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>w[i]>>c[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=n;j>=1;j--)
			f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);
	cout<<f[n][m];
	return 0;
}

 

但這樣的時間、空間複雜度均為O（n*v），其中時間複雜度已無法優化，但空間還可以優化

優化方法一：滾動陣列

如果仔細看一下方程，不難發現，對於當前的f[i][j]，其實只用到了第 i 行和第 i-1 行
所以，我們可以將f[n][m]定義為f[2][m](n,m均為長量），再定義兩個變數：pre、cur（ pre 表示該行的上一行，cur 表示該行）。
但我們怎麼更改 pre 與 cur 的值呢？
非常簡單：swap(cur,pre) 即可；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,cur=1,pre;
int w[100100],c[100100],f[1000][1000];
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>w[i]>>c[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
        swap(cur,pre);
		for(int j=n;j>=1;j--)
		{
			if(j>=w[i])
				f[cur][j]=max(f[pre][j],f[pre][j-w[i]]+c[i]);
			else 
				f[cur][j]=f[pre][j];
		}	
	}	
	cout<<f[cur][n];
	return 0;
}
 

優化方法二：

優化原理同上，不過比上一個更狠：直接壓成一維

方程：f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i])

解釋：

在更新f[j]之前，f[j]相當於之前的f[i-1] [j]（可以理解為：a=a+3;） 而更新後，f[j]就成了f[i] [j]

所以，必須從後往前更新，否則，方程就成了f[i][j]=max(f[i][j-w[i]]+c[i],f[i-1][v])

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namesapce std;
int n,m;
int w[100100],c[100100];
int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        	cin>>w[i]>>c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        	for(int j=m;j>=1;j--)
                	if(j>=w[i])
                        	f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
    				else 
                        	f[j]=f[j-1];
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}