【學習筆記】二分圖匹配——匈牙利演算法 By 5ab as a juruo.
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關於二分圖
如果你學習圖論，這個詞肯定聽說過，即使沒有系統學習過二分圖及其相關演算法。
那到底什麼是二分圖呢？簡單來說，就是將一張圖的節點分成兩部分，使得所有的邊都只從一邊連向另一邊，不存在兩個節點都在同一部分的邊。
舉個例子，一條大河波浪寬，兩邊各有一些村子，村子與村子之間只有跨江的橋連線。那麼如果將村子作為節點，而橋作為邊，那麼這就是一張二分圖。
二分圖有許多優美的性質和特點，這使得由二分圖而演化出來的演算法比較多。
二分圖匹配
什麼是匹配呢？就是將二分圖中的一些邊選出來，使得每一條邊的兩個節點都互不相同。
舉個例子，現在有一些 ♂ 和一些 ♀ 在找物件，你將這些人放在一起要組 CP。
但是，只有其中的一部分是 互相 有好感的，可以組建 CP。同時，一個人只有可能在一對 CP 內。使得 CP 的數量最多的方案就是二分圖最大匹配。
那麼，怎麼計算二分圖最大匹配呢？
我們先來想一個很暴力的做法——能配對就配對。儘可能將前面的組成 CP，後面的有就組，沒有隻能幹啃狗糧了 QAQ。
下面是已經給出的湊 CP 名單，我們要本著 給結婚辦事處添麻煩 救助單身狗的原則湊儘可能多的 CP。
（注：藍色表示 \(\color{blue}{\text{♂}}\)，紅色表示 \(\color{red}{\text{♀}}\)，黑色邊表示 CP）
\[\Huge{\text{第一幕}} \]
男1：我先選 CP 嗎？那可太好了！
管理員：對，按照慣例，先由編號小的開始。（低語，略微轉頭）不過貌似從最後一個開始選也一樣吧。
男1：啊選哪個呢？點兵點將……啊啊啊，選擇困難症受不了啊！乾脆就選第一個吧！
女1：你確定？你不是之前還跟我吵過架嗎？還揚言要放火燒掉我的家，不是嗎？呵呵……
男1：那我選誰啊？你個糟老婆子，就會比比叨叨比比叨叨……
女1：你再罵？！
管理員：好，很好，你們兩個就請先下臺吧。後面有事會找你們的。
男1：哼，就會說風涼話。
男2：然後……就是我了嗎？管理員？
管理員：嗯，按照慣例是的，你要選誰呢？
男2：輪到我了……顯然女1啊！誒，她人呢？
女1：你眼睛瞎了嗎？！我看你是在想 peach！
男2：這還不好辦，讓男1再去找一個……
男1：你彳亍你找啊！我就這一個青梅竹馬，別想搶！
男2：（尷尬而不失猥瑣地笑）好吧，反正我心中還有一個人選，不是嗎，女3？
女3：（臉頰泛紅）是啊……那就這樣吧。
管理員：所有候選人員注意！如果你接下來的物件是已經被挑選的，請慎重考慮那些已經組好的 CP 的去向，否則不要提出這種想法！
===
\[\Huge{\text{第二幕}} \]
男3：好哇，速度不慢嘛！我康康……不就是女2嘛！我們倆關係可好了，比如……
管理員：你可快點！前面那麼快不是你慢的藉口！
男4：【內心獨白】好傢伙！照男3的說法，那我唯一的選擇女2不就 ×× 了嗎？但是別人也就這一個選擇……啊這，好吧，難道就要這樣吃一輩子狗糧了嗎，呵呵。
管理員：下一個是……
男4：我沒有選擇了，註定單身啊（嘆氣帶笑）。
男5：啊？我啦？好快的車車。首選是：女……
【內心獨白】
不對！如果是女3，那麼男2將要去搶女1，但是這樣男1就要找我算賬啦！怎麼辦？
對啊！我不是還有候選女4嗎？看來渣男和渣女必然在一起啊，呵呵。
男5：……4！就是你了！
管理員：【內心獨白】！可以啊，人品不咋地，但是還有一點腦子可以使。
管理員：好了，這樣就行了。CP 的數量達到最大值！本次配對活動順利成功！
男4：你確定？這樣如果真的是最大值，那我無話可說。但是如果不是，你必須給我個說法！
管理員：好啦好啦，我跟你 gang 啦！這其實就是——匈牙利演算法！二分圖最大匹配的標準流程！
演算法講解
在這之前，先介紹一下增廣路的概念。注意，這裡的增廣路和網路流裡的增廣路不同，但本質都是為了增加可行答案的最大值。
這裡的增廣路滿足：相鄰的兩條邊，必有一條是匹配邊，另一條是未匹配邊，且第一條邊和最後一條邊是未匹配邊，且兩個端點都沒有被匹配過。
我們只要找到增廣路，並將其每一條邊取反，就可以增加答案。
一個標準的匈牙利演算法執行以下流程：
- 找到第一個沒有匹配的左端節點，如果沒有跳至第 4 步；
- 選取第一條沒有匹配的這個點的一條出邊，如果沒有跳至第 1 步；
- 如果這條邊是一條增廣路的起點，則將這條增廣路上的所有邊取反，返回第 2 步；
- 統計並輸出。
那麼，這個演算法為什麼是對的呢？反正我不知道
這是一個基於貪心的做法，複雜度為 \(O(nm)\)，因為最多有 \(n\) 條增廣路，且每條增廣路按照 DFS 的方式搜尋複雜度為 \(O(m)\)。
模板程式碼
輸入格式
第一行兩個正整數 \(n\)、\(m\)，分別表示節點數為 \(2n\)，邊數為 \(m\)，節點編號為 \(1,2,3,\cdots,2n-1,2n\)，邊均從前 \(n\) 個點連向後 \(n\) 個點。
接下來 \(m\) 行，每行兩個整數 \(a_i\)、\(b_i\)，表示第 \(i\) 條邊的兩個端點。
輸出格式
輸出最大匹配。
Code
咕咕咕
例題
待填……