題目

求兩個整數的最大公約數

輾轉相除法

定義

輾轉相除法，又名歐幾裡得演演算法（Euclideanalgorithm），該演演算法的目的是求出兩個正整數的最大公約數。它是已知最古老的演演算法，其產生時間可追溯至公元前300年前。這條演演算法基於一個定理：兩個正整數a和b（a＞b），它們的最大公約數等於a除以b的餘數c和b之間的最大公約數。

實現

缺點

不過有一個問題，當兩個整數較大時，做a%b取模運算的效能會比較差。

更相減損術

定義

更相減損術，出自中國古代的《九章算術》，也是一種求最大公約數的演演算法。古希臘人很聰明，可是我們炎黃子孫也不差。它的原理更加簡單：兩個正整數a和b（a＞b），它們的最大公約數等於ab的差值c和較小數b的最大公約數。例如10和25，25減10的差是15，那麼10和25的最大公約數，等同於10和15的最大公約數。

實現

缺點

但是，更相減損術依靠兩數求差的方式來遞迴，運算次數肯定遠大於輾轉相除法的取模方式。同時，更相減損術是不穩定的演演算法，當兩數相差懸殊時，如計算 10000 和 1 的最大公約數，就要遞迴 9999 次。

結合更相減損術和輾轉相除法

定義

眾所周知，移位運算的效能非常好。對於給出的正整數a和b，不難得到如下的結論。（從下文開始，獲得最大公約數的方法getGreatestCommonDivisor被簡寫為gcd。）

• 當a和b均為偶數時，gcd（a，b）=2×gcd（a/2，b/2）=2×gcd（a＞＞1，b＞＞1）
• 當a為偶數，b為奇數時，gcd（a，b）=gcd（a/2，b）=gcd（a＞＞1，b）
• 當a為奇數，b為偶數時，gcd（a，b）=gcd（a，b/2）=gcd（a，b＞＞1）
• 當a和b均為奇數時，先利用更相減損術運算一次，gcd（a，b）=gcd（b，a-b），此時ab必然是偶數，然後又可以繼續進行移位運算

實現

程式碼參考

gist.github.com/furuiyang07…