目錄

• 介紹
• 拓撲排序演算法分析
• 拓撲排序程式碼實現

@(目錄)

介紹

拓撲排序，很多人都可能聽說但是不瞭解的一種演算法。或許很多人只知道它是圖論的一種排序，至於幹什麼的不清楚。又或許很多人可能還會認為它是一種啥排序。而實質上它是對有向圖的頂點排成一個線性序列。

至於定義，百科上是這麼說的：

對一個有向無環圖(Directed Acyclic Graph簡稱DAG)G進行拓撲排序，是將G中所有頂點排成一個線性序列，使得圖中任意一對頂點u和v，若邊<u,v>∈E(G)，則u線上性序列中出現在v之前。通常，這樣的線性序列稱為滿足拓撲次序(Topological Order)的序列，簡稱拓撲序列。簡單的說，由某個集合上的一個偏序得到該集合上的一個全序，這個操作稱之為拓撲排序。

為什麼會有拓撲排序？拓撲排序有何作用？

舉個例子，學習java系列的教程
代號 | 科目| 學前需掌握|
-------- | ----- | --|
A1 | javaSE|
A2 | html|
A3 | Jsp|A1，A2
A4 | servlet|A1
A5 | ssm|A3,A4
A6 | springboot|A5
就比如學習java系類(部分)從java基礎，到jsp/servlet，到ssm，到springboot，springcloud等是個循序漸進且有依賴的過程。在jsp學習要首先掌握java基礎和html基礎。學習框架要掌握jsp/servlet和jdbc之類才行。那麼，這個學習過程即構成一個拓撲序列。當然這個序列也不唯一，你可以對不關聯的學科隨意選擇順序(比如html和java可以隨便先開始哪一個。)

那上述序列可以簡單表示為：

其中五種均為可以選擇的學習方案，對課程安排可以有參考作用，當然，五個都是拓撲序列。只是選擇的策略不同！

一些其他注意：

DGA：有向無環圖
AOV網：資料在頂點 可以理解為面向物件
AOE網：資料在邊上，可以理解為面向過程！

而我們通俗一點的說法，就是按照某種規則將這個圖的頂點取出來，這些頂點能夠表示什麼或者有什麼聯絡。

規則：

• 圖中每個頂點只出現一次。
• A在B前面，則不存在B在A前面的路徑。(不能成環！！！！)
• 頂點的順序是保證所有指向它的下個節點在被指節點前面！(例如A—>B—>C那麼A一定在B前面，B一定在C前面)。所以，這個核心規則下只要滿足即可，所以拓撲排序序列不一定唯一！

拓撲排序演算法分析

正常步驟為(方法不一定唯一)：

• 從DGA圖中找到一個沒有前驅的頂點輸出。(可以遍歷，也可以用優先佇列維護)
• 刪除以這個點為起點的邊。(它的指向的邊刪除，為了找到下個沒有前驅的頂點)
• 重複上述，直到最後一個頂點被輸出。如果還有頂點未被輸出，則說明有環！

對於上圖的簡單序列，可以簡單描述步驟為：

• 1：刪除1或2輸出
  
• 2：刪除2或3以及對應邊
  
• 3：刪除3或者4以及對應邊
• 3：重複以上規則步驟
  

這樣就完成一次拓撲排序，得到一個拓撲序列，但是這個序列並不唯一！從過程中也看到有很多選擇方案，具體得到結果看你演算法的設計了。但只要滿足即是拓撲排序序列。

另外觀察 1 2 4 3 6 5 7 9這個序列滿足我們所說的有關係的節點指向的在前面，被指向的在後面。如果完全沒關係那不一定前後(例如1,2)

拓撲排序程式碼實現

對於拓撲排序，如何用程式碼實現呢？對於拓撲排序，雖然在上面詳細介紹了思路和流程，也很通俗易懂。但是實際上程式碼的實現還是很需要斟酌的，如何在空間和時間上能夠得到較好的平衡且取得較好的效率？

首先要考慮儲存。對於節點，首先他有聯通點這麼多屬性。遇到稀疏矩陣還是用鄰接表比較好。因為一個節點的指向節點較少，用鄰接矩陣較浪費資源。

另外，如果是1，2，3，4，5，6這樣的序列求拓撲排序，我們可以考慮用陣列，但是如果遇到1，2，88，9999類似資料，可以考慮用map中轉一下。那麼，

我們具體的程式碼思想為：

• 新建node類，包含節點數值和它的指向(這裡直接用list集合替代連結串列了)
• 一個數組包含node(這裡預設編號較集中)。初始化，新增每個節點指向的時候同時被指的節點入度+1！(A—>C)那麼C的入度+1；
• 掃描一遍所有node。將所有入度為0的點加入一個棧(佇列)。
• 當棧(佇列)不空的時候，丟擲其中任意一個node(棧就是尾，隊就是頭，順序無所謂，上面分析了只要同時入度為零可以隨便選擇順序)。將node輸出，並且node指向的所有元素入度減一。如果某個點的入度被減為0，那麼就將它加入棧(佇列)。
• 重複上述操作，直到棧為空。

這裡主要是利用棧或者佇列儲存入度只為0的節點，只需要初次掃描表將入度為0的放入棧(佇列)中。

• 這裡你或許會問為什麼。
• 因為節點之間是有相關性的，一個節點若想入度為零，那麼它的父節點(指向節點)肯定在它為0前入度為0，拆除關聯箭頭。從父節點角度，它的這次拆除聯絡，可能導致被指向的入讀為0，也可能不為0(還有其他節點指向兒子)

至於具體demo：

package 圖論;

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;

public class tuopu {
    static class node
    {
        int value;
        List<Integer> next;
        public node(int value) {
            this.value=value;
            next=new ArrayList<Integer>();
        }
        public void setnext(List<Integer>list) {
            this.next=list;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        node []nodes=new node[9];//儲存節點
        int a[]=new int[9];//儲存入度
        List<Integer>list[]=new ArrayList[10];//臨時空間，為了儲存指向的集合
        for(int i=1;i<9;i++)
        {
            nodes[i]=new node(i);
            list[i]=new ArrayList<Integer>();
        }
        initmap(nodes,list,a);
        
        //主要流程
        //Queue<node>q1=new ArrayDeque<node>();
        Stack<node>s1=new Stack<node>();
        for(int i=1;i<9;i++)
        {
            //System.out.print(nodes[i].next.size()+" 55 ");
            //System.out.println(a[i]);
            if(a[i]==0) {s1.add(nodes[i]);}
            
        }
        while(!s1.isEmpty())
        {
            node n1=s1.pop();//丟擲輸出
            
            System.out.print(n1.value+" ");
            
            List<Integer>next=n1.next;
            for(int i=0;i<next.size();i++)
            {
                a[next.get(i)]--;//入度減一
                if(a[next.get(i)]==0)//如果入度為0
                {
                    s1.add(nodes[next.get(i)]);
                }
            }
        }
    }

    private static void initmap(node[] nodes, List<Integer>[] list, int[] a) {
        list[1].add(3);
        nodes[1].setnext(list[1]);
        a[3]++;
        list[2].add(4);list[2].add(6);
        nodes[2].setnext(list[2]);
        a[4]++;a[6]++;
        list[3].add(5);
        nodes[3].setnext(list[3]);
        a[5]++;
        list[4].add(5);list[4].add(6);
        nodes[4].setnext(list[4]);
        a[5]++;a[6]++;
        list[5].add(7);
        nodes[5].setnext(list[5]);
        a[7]++;
        list[6].add(8);
        nodes[6].setnext(list[6]);
        a[8]++;
        list[7].add(8);
        nodes[7].setnext(list[7]);
        a[8]++;
        
    }
}

輸出結果

2 4 6 1 3 5 7 8

當然，上面說過用棧和佇列都可以！如果使用佇列就會得到1 2 3 4 5 6 7 8的拓撲序列

至於圖的構造，因為沒有條件可能效率並不高，演算法也可能不太完美，如有優化錯誤還請大佬指正！

另外，還請各位大佬動動小手 點贊、關注(bigsai) 一波啊！謝謝