樹的介紹

    1. 樹的定義

    樹是一種資料結構，它是由n（n>=1）個有限節點組成一個具有層次關係的集合。

    把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：
    (01) 每個節點有零個或多個子節點；
    (02) 沒有父節點的節點稱為根節點；
    (03) 每一個非根節點有且只有一個父節點；
    (04) 除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹。

2. 樹的基本術語

    若一個結點有子樹，那麼該結點稱為子樹根的"雙親"，子樹的根是該結點的"孩子"。有相同雙親的結點互為"兄弟"。一個結點的所有子樹上的任何結點都是該結點的後裔。從根結點到某個結點的路徑上的所有結點都是該結點的祖先。

    結點的度：結點擁有的子樹的數目。
    葉子：度為零的結點。
    分支結點：度不為零的結點。
    樹的度：樹中結點的最大的度。

    層次：根結點的層次為1，其餘結點的層次等於該結點的雙親結點的層次加1。
    樹的高度：樹中結點的最大層次。
    無序樹：如果樹中結點的各子樹之間的次序是不重要的，可以交換位置。
    有序樹：如果樹中結點的各子樹之間的次序是重要的, 不可以交換位置。
    森林：0個或多個不相交的樹組成。對森林加上一個根，森林即成為樹；刪去根，樹即成為森林。

二叉樹的介紹

    1. 二叉樹的定義

    二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。它有五種基本形態：二叉樹可以是空集；根可以有空的左子樹或右子樹；或者左、右子樹皆為空。

    2. 二叉樹的性質

    二叉樹有以下幾個性質：TODO(上標和下標)
    性質1：二叉樹第i層上的結點數目最多為 2{i-1} (i≥1)。
    性質2：深度為k的二叉樹至多有2{k}-1個結點(k≥1)。
    性質3：包含n個結點的二叉樹的高度至少為log2 (n+1)。
    性質4：在任意一棵二叉樹中，若終端結點的個數為n0，度為2的結點數為n2，則n0=n2+1。

2.1 性質1：二叉樹第i層上的結點數目最多為 2{i-1} (i≥1)

    證明：下面用"數學歸納法"進行證明。
            (01) 當i=1時，第i層的節點數目為2{i-1}=2{0}=1。因為第1層上只有一個根結點，所以命題成立。
            (02) 假設當i>1，第i層的節點數目為2{i-1}。這個是根據(01)推斷出來的！
                   下面根據這個假設，推斷出"第(i+1)層的節點數目為2{i}"即可。
                    由於二叉樹的每個結點至多有兩個孩子，故"第(i+1)層上的結點數目" 最多是 "第i層的結點數目的2倍"。即，第(i+1)層上的結點數目最大值=2×2{i-1}=2{i}。
                故假設成立，原命題得證！

2.2 性質2：深度為k的二叉樹至多有2{k}-1個結點(k≥1)

    證明：在具有相同深度的二叉樹中，當每一層都含有最大結點數時，其樹中結點數最多。利用"性質1"可知，深度為k的二叉樹的結點數至多為：
               20+21+…+2k-1=2k-1
               故原命題得證！

2.3 性質3：包含n個結點的二叉樹的高度至少為log2 (n+1)

    證明：根據"性質2"可知，高度為h的二叉樹最多有2{h}–1個結點。反之，對於包含n個節點的二叉樹的高度至少為log2(n+1)。

2.4 性質4：在任意一棵二叉樹中，若終端結點的個數為n0，度為2的結點數為n2，則n0=n2+1

    證明：因為二叉樹中所有結點的度數均不大於2，所以結點總數(記為n)="0度結點數(n0)" + "1度結點數(n1)" + "2度結點數(n2)"。由此，得到等式一。
             (等式一) n=n0+n1+n2
　        另一方面，0度結點沒有孩子，1度結點有一個孩子，2度結點有兩個孩子，故二叉樹中孩子結點總數是：n1+2n2。此外，只有根不是任何結點的孩子。故二叉樹中的結點總數又可表示為等式二。
             (等式二) n=n1+2n2+1
            由(等式一)和(等式二)計算得到：n0=n2+1。原命題得證！

3. 滿二叉樹，完全二叉樹和二叉查詢樹

    3.1 滿二叉樹

        定義：高度為h，並且由2{h} –1個結點的二叉樹，被稱為滿二叉樹。

3.2 完全二叉樹

    定義：一棵二叉樹中，只有最下面兩層結點的度可以小於2，並且最下一層的葉結點集中在靠左的若干位置上。這樣的二叉樹稱為完全二叉樹。
特點：葉子結點只能出現在最下層和次下層，且最下層的葉子結點集中在樹的左部。顯然，一棵滿二叉樹必定是一棵完全二叉樹，而完全二叉樹未必是滿二叉樹。

3.3 二叉查詢樹

    定義：二叉查詢樹(Binary Search Tree)，又被稱為二叉搜尋樹。設x為二叉查詢樹中的一個結點，x節點包含關鍵字key，節點x的key值記為key[x]。如果y是x的左子樹中的一個結點，則key[y] <= key[x]；如果y是x的右子樹的一個結點，則key[y] >= key[x]。

    在二叉查詢樹中：
    (01) 若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；
    (02) 任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值；
    (03) 任意節點的左、右子樹也分別為二叉查詢樹。
    (04) 沒有鍵值相等的節點（no