1. 程式人生 > >最小生成樹 & 洛谷P3366【模板】最小生成樹 & 洛谷P2820 局域網

最小生成樹 & 洛谷P3366【模板】最小生成樹 & 洛谷P2820 局域網

圖片 最大 show bool sca 9.png www. pla ++

嗯...

理解生成樹的概念:

在一幅圖中將所有n個點連接起來的n-1條邊所形成的樹。

最小生成樹:

邊權之和最小的生成樹。

最小瓶頸生成樹:

對於帶權圖,最大權值最小的生成樹。

如何操作?

1.Prim算法(O(mlogn)

2.Kruskal算法(O(mlogn)

推薦使用第二種,無需建圖。

算法流程:

Prim算法:(思想類似dijkstra

  隨意選取一個點作為已訪問集合的第一個點,並將所有相連的邊加入堆中
  從堆中找到最小的連接集合內和集合外點的邊,將邊加入最小生成樹中
  將集合外點標記為已訪問,並將相連邊加入堆
  重復以上過程直到所有點都在訪問集合中



技術分享圖片技術分享圖片技術分享圖片技術分享圖片技術分享圖片技術分享圖片

Kruskal算法:(並查集思想)

  將邊按照權值排序
  依次枚舉每一條邊,若連接的兩點不連通則加入最小生成樹中
  使用並查集維護連通性
技術分享圖片技術分享圖片技術分享圖片技術分享圖片技術分享圖片

模板代碼:

技術分享圖片
 1 int f[101], h;
 2 struct node{
 3     int x, y, l;
 4 } a[100001];
 5 inline bool cmp(node i, node j){
 6     return i.l < j.l;
 7 }
 8 inline int find(int x){
 9     if(x != f[x])//本身是否為父親節點
10         f[x] = find(f[x]);
11 return f[x]; 12 }//並查集操作 13 int main(){ 14 for(int i = 1; i <= n; i++){ 15 f[i] = i; 16 }//父節點初始化 17 sort(a+1, a+k+1, cmp);//排序 18 for(int i = 1; i <= k; i++){ 19 int r1 = find(a[i].x); 20 int r2 = find(a[i].y); 21 if(r1 != r2){ 22 f[r1] = r2;
23 } 24 } 25 }
Kruskal

技術分享圖片
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a,b,c;
int sum;
int g[1001][1001],minn[1001];
bool u[1001]; 
int main(){
    memset(g,0x7f,sizeof(g));
    memset(minn,0x7f,sizeof(minn));
    memset(u,true,sizeof(u));
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>a>>b>>c;
        g[a][b]=g[b][a]=c;
        sum+=c;
    }
    minn[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int k=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        if(u[j]&&minn[j]<minn[k])
        k=j;  
        u[k]=false;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        if(u[j]&&g[k][j]<minn[j])
        minn[j]=g[k][j];
    }
    int total=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    total+=minn[i];
    cout<<sum-total<<endl;
    return 0;
}
Prim


模板題:

洛谷P3366【模板】最小生成樹:

題目鏈接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3366

思路:(Kruskal)

一道模板題,首先用一個結構體讀入,然後初始化父節點,再按邊權排序,然後用find函數分別找輸入時的兩個點的父節點,並判斷其中一個是否是另一個的父親,否則就進行合並,並將h+=a[i].l。(思路比較好理解)

技術分享圖片
 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 int h, f[200005];
 8 
 9 struct node{
10     int x, y, l;
11 } a[200005];
12 
13 inline bool cmp(node i, node j){
14     return i.l < j.l;
15 }
16 
17 inline int find(int x){
18     if(x != f[x])
19         f[x] = find(f[x]);
20     return f[x];
21 }
22 
23 int main(){
24     int n, m;
25     scanf("%d%d", &n, &m);
26     for(int i = 1; i <= n; i++){
27         f[i] = i;
28     }
29     for(int i = 1; i <= m; i++){
30         scanf("%d%d%d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].l);
31         //h += a[i].l;
32     }
33     sort(a+1, a+m+1, cmp);
34     for(int i = 1; i <= m; i++){
35         int r1 = find(a[i].x);
36         int r2 = find(a[i].y);
37         if(r1 != r2){
38             f[r1] = r2;
39             h += a[i].l;
40             //h -= a[i].l;
41         }
42     }
43     printf("%d", h);
44     return 0;
45 }
AC代碼


洛谷P2820 局域網:

題目鏈接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2820

思路:

首先這道題的問法就很模板:

很顯然“f(i,j)表示i,j之間連接的暢通程度”即為i到j點的權值;“除去一些連線,使得網絡中沒有回路,並且被除去網線的Σf(i,j)最大”很顯然是求最小生成樹。但註意一個細節,它與最小生成樹有所不同,它要求的是Σf(i,j)最大

所以我們在最小生成樹的模板上進行修改即可:讀入時將所有的邊權都加到h中。在判斷父節點是否相同時,若不同,則將合並,並將合並的這條邊的權值減掉即可。

技術分享圖片
 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 int f[101], h;
 8 
 9 struct node{
10     int x, y, l;
11 } a[100001];
12 
13 inline bool cmp(node i, node j){
14     return i.l < j.l;
15 }
16 
17 inline int find(int x){
18     if(x != f[x])
19         f[x] = find(f[x]);
20     return f[x];
21 }
22 
23 int main(){
24     int n, k;
25     scanf("%d%d", &n, &k);
26     for(int i = 1; i <= n; i++){
27         f[i] = i;
28     }
29     for(int i = 1; i <= k; i++){
30         scanf("%d%d%d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].l);
31         h += a[i].l;
32     }
33     sort(a+1, a+k+1, cmp);
34     for(int i = 1; i <= k; i++){
35         int r1 = find(a[i].x);
36         int r2 = find(a[i].y);
37         if(r1 != r2){
38             f[r1] = r2;
39             h -= a[i].l;
40         }
41     }
42     printf("%d", h);
43     return 0;
44 }
AC代碼


大概就是這樣,個人認為Kruskal算法比Prim算法寫起來簡單並好理解....

最小生成樹 & 洛谷P3366【模板】最小生成樹 & 洛谷P2820 局域網