一 機器人運動學

工業機器人的正向運動學是指已知各關節的型別、相鄰關節之間的尺寸和相鄰關節相對運動量的大小時，如何確定工業機器人末端操作器在固定座標系中的位姿。
DH模型由來：1955年，Denavit和Hartenberg(迪納維特和哈坦伯格)提出了這一方法，後成為表示機器人以及對機器人建模的標準方法，應用廣泛。
總體思想:首先給每個關節指定座標系，然後確定從一個關節到下一個關節進行變化的步驟，這體現在兩個相鄰參考座標系之間的變化，將所有變化結合起來，就確定了末端關節與基座之間的總變化，從而建立運動學方程，進一步對其求解。

二 座標系的確定

杆件與關節
操作機由一串用轉動或平移（稜柱形）關節連線的剛體（杆件）組成。
每一對關節杆件構成一個自由度，因此N個自由度的操作機就有N對關節—杆件。
0號杆件（一般不把它當作機器人的一部分）固聯在機座上，通常在這裡建立一個固定參考座標系，最後一個杆件與工具相連。
關節和杆件均由底座向外順序排列，每個杆件最多和另外兩個杆件相聯，不構成閉環。

機器人關節座標系的建立：對於每個杆件都可以在關節軸處建立一個正規的笛卡兒座標系（xi, yi, zi），（i=1, 2, …, n），n是自由度數，再加上基座座標系，一共有（n+1）個座標系。
基座座標系 ∑O0定義為0號座標系（x0, y0, z0）,它也是機器人的慣性座標系，0號座標系在基座上的位置和方向可任選，但z0軸線必須與關節1的軸線重合，位置和方向可任選；
最後一個座標系（n關節），可以設在手的任意部位，但必須保證 zn與zn-1 垂直。

情況1：兩關節Z軸既不平行也不相交
取兩Z軸公垂線方向作為X軸方向，命名規則同Z軸X軸確定規則
情況2：兩關節Z軸平行
此時，兩Z軸之間有無數條公垂線，可挑選與前一關節的公垂線共線的一條公垂線。
情況3：兩關節Z軸相交
取兩條Z軸的叉積方向作為X軸。
情況4：Y軸確定原則
取X軸、Z軸叉積方向作為Y軸方向。（右手）
情況5：變數選擇原則
用θn+1角表示Xn到Xn+1繞Zn軸的旋轉角;dn+1表示從Xn到Xn+1沿Zn測量的距離;an+1表示關節偏移，an+1是從Zn到Zn+1沿Xn+1測量的距離;角α表示關節扭轉, αn+1是從Zn到Zn+1繞Xn+1旋轉的角度。 通常情況下，只有θ和d是關節變數。

關節座標系的建立方法：
原點Oi：設在li與Ai+1軸線的交點上
zi軸：與Ai+1關節軸重合，指向任意
xi軸：與公法線li重合，指向沿li由Ai軸線指向Ai+1軸線
yi軸：按右手定則

杆件長度li —沿 xi 軸， zi-1 軸與 xi 軸交點到 0i 的距離
杆件扭轉角αi — 繞 xi 軸，由 zi-1 轉向zi
杆件偏移量 di — 沿 zi-1 軸，zi-1 軸和 xi 交點至∑0i –1 座標系原點的距離
杆件迴轉角θi — 繞 zi-1 軸，由 xi-1轉向 xi

兩種特殊情況：
1、兩軸相交，怎麼建立座標系？
Oi — Ai與Ai+1關節軸線的交點；
zi — Ai+1軸線；
xi — zi和zi-1構成的平面的 法線 ；
yi — 右手定則；
2、兩軸平行，怎麼建立座標系(Ai與Ai+1平行)？
先建立 ∑Oi-1
然後建立∑Oi+1
最後建立 ∑Oi

三 機器人運動學正解

D-H變換矩陣

第一步：根據D-H法建立座標系的規則建立座標系

第二步：將做好的座標系簡化為我們熟悉的線圖形式

第三步：根據建立好的座標系，確定各引數，並寫入D-H引數表

第四步：將引數代入A矩陣，可得到

綜上：
依次寫出從基座標系到手爪座標系之間相鄰兩座標系的齊次變換矩陣，它們依次連乘的結果就是末端執行器（手爪）在基座標系中的空間描述，即

四 機器人運動學逆解

給定機器人終端位姿，求各關節變數，稱求機器人運動學逆解。讓我們通過下面這道例題來了解一下機器人逆運動學求解的一般步驟。前面例子最後方程為：


第一步，求theta1,依次用 左乘上面兩個矩陣，得到：

根據第3行第4列元素對應相等可得到

第二步，求theta3,根據1，4元素和2，4元素，可得到：

將上面兩個方程兩邊平方相加，並利用和差化積公式得到

已知
於是可得到：
依次類推，分別在方程2.19兩邊左乘A1~A4的逆，可得到


接下來再一次利用式

由於C12=C1C2-S1S2以及S12=S1C2+C1S2，最後得到：

最後用A5的逆左乘式2.67，再利用2,1元素和2,2元素，得到：

五 對機器人相關概念的補充

退化：當機器人失去一個自由度，並因此不按所期望的狀態運動時即稱為退化。
退化發生條件：
1.機器人達到物理極限，不能進一步運動
2.兩個相似關節共線
不靈巧區域：能對機器人定位不定姿的區域稱為不靈巧區域。
D-H法的侷限性：無法表示關於y軸的運動。