演算法思想

演算法求解思路為交替迭代的進行稀疏編碼和字典更新兩個步驟. K-SVD在構建字典步驟中，K-SVD不僅僅將原子依次更新，對於原子對應的稀疏矩陣中行向量也依次進行了修正. 不像MOP，K-SVD不需要對矩陣求逆，而是利用SVD數學分析方法得到了一個新的原子和修正的係數向量.

固定係數矩陣X和字典矩陣D，字典的第k個原子為dk，同時dk對應的稀疏矩陣為X中的第k個行向量xkT. 假設當前更新進行到原子dk，樣本矩陣和字典逼近的誤差為：

在得到當前誤差矩陣E

如果直接對dk和XkT進行更新，可能導致xkT不稀疏. 所以可以先把原有向量xkT中零元素去除，保留非零項，構成向量xkR，然後從誤差矩陣Ek中取出相應的列向量，構成矩陣ERk. 對ERk進行SVD（Singular Value Decomposition）分解，有ERk=UΔVT，由U的第一列更新dk，由V的第一列乘以Δ(1,1)所得結果更新xkR.

Python實現

import numpy as np
from sklearn import linear_model
import scipy.misc
from
 
 matplotlib import pyplot as plt


class KSVD(object):
    def __init__(self, n_components, max_iter=30, tol=1e-6,
                 n_nonzero_coefs=None):
        """
        稀疏模型Y = DX，Y為樣本矩陣，使用KSVD動態更新字典矩陣D和稀疏矩陣X
        :param n_components: 字典所含原子個數（字典的列數）
        :param max_iter: 最大迭代次數
        :param tol: 稀疏表示結果的容差
        :param n_nonzero_coefs: 稀疏度
        """
 

        self.dictionary = None
        self.sparsecode = None
        self.max_iter = max_iter
        self.tol = tol
        self.n_components = n_components
        self.n_nonzero_coefs = n_nonzero_coefs

    def _initialize(self, y):
        """
        初始化字典矩陣
        """
        u, s, v = np.linalg.svd(y)
        self.dictionary = u[:, :self.n_components]

    def _update_dict(self, y, d, x):
        """
        使用KSVD更新字典的過程
        """
        for i in range(self.n_components):
            index = np.nonzero(x[i, :])[0]
            if len(index) == 0:
                continue

            d[:, i] = 0
            r = (y - np.dot(d, x))[:, index]
            u, s, v = np.linalg.svd(r, full_matrices=False)
            d[:, i] = u[:, 0].T
            x[i, index] = s[0] * v[0, :]
        return d, x

    def fit(self, y):
        """
        KSVD迭代過程
        """
        self._initialize(y)
        for i in range(self.max_iter):
            x = linear_model.orthogonal_mp(self.dictionary, y, n_nonzero_coefs=self.n_nonzero_coefs)
            e = np.linalg.norm(y - np.dot(self.dictionary, x))
            if e < self.tol:
                break
            self._update_dict(y, self.dictionary, x)

        self.sparsecode = linear_model.orthogonal_mp(self.dictionary, y, n_nonzero_coefs=self.n_nonzero_coefs)
        return self.dictionary, self.sparsecode


if __name__ == '__main__':
    im_ascent = scipy.misc.ascent().astype(np.float)
    ksvd = KSVD(300)
    dictionary, sparsecode = ksvd.fit(im_ascent)
    plt.figure()
    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.imshow(im_ascent)
    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.imshow(dictionary.dot(sparsecode))
    plt.show()

執行結果：