問題：如何檢測一個連結串列是否有環，如果有，那麼如何確定環的起點.

龜兔解法的基本思想可以用我們跑步的例子來解釋，如果兩個人同時出發，如果賽道有環，那麼快的一方總能追上慢的一方。進一步想，追上時快的一方肯定比慢的一方多跑了幾圈，即多跑的路的長度是圈的長度的倍數。

基於上面的想法，Floyd用兩個指標，一個慢指標（龜）每次前進一步，快指標（兔）指標每次前進兩步（兩步或多步效果是等價的，只要一個比另一個快就行，從後面的討論我們可以看出這一點。ps：考慮一個連結串列A有1000000個結點的環，連結串列B是有1000000個的非環的結點，然後再加一個只有3個結點的小環，如果兔子跑的更快點，即每次前進多於2步，那麼能更快的檢測連結串列A，但連結串列B就很慢，因為要一直繞圈等烏龜，所以選擇2步是一個tradeoff）。如果兩者在連結串列頭以外的某一點相遇（即相等）了，那麼說明連結串列有環，否則，如果（快指標）到達了連結串列的結尾，那麼說明沒環。

證明如下：

這樣做的道理我用下圖解釋
假設起點到環的起點距離為m，已經確定有環，環的周長為n，（第一次）相遇點距離環的起點的距離是k。那麼當兩者相遇時，慢指標移動的總距離為i，因為快指標移動速度為慢指標的兩倍，那麼快指標的移動距離為2i

1) i = m + p * n + k
2) 2i = m + q * n + ki

其中，p和q分別為慢指標和快指標在第一次相遇時轉過的圈數。

2 ( m + p * n + k ) = m + q * n + k
=> 2m + 2pn + 2k = m + nq + k
=> m + k = ( q - 2p ) n

只要有一組p，q，k滿足這個式子，假設就成立了。
我們假設

p = 0
q = m
k = m n - m

那麼我們證明如下

m + k = ( q - 2p ) n
=> m + mn - m = ( m - 2*0) n
=> mn = mn.

這時，i為

i = m + p n + k
=> m + 0 * n + mn - m = mn.
假設成立。

環的檢測

環的檢測是Floyd解法的第二部分。
一旦烏龜和兔子相遇，將慢指標移到連結串列起點，快指標還在他們相遇的地方，即離環的起點距離k的地方。然後慢指標和快指標同時移動，每次移動一步，那麼兩者再次相遇的地方就是環的起點。

證明如下：
讓烏龜和兔子都同時移動m+k步，烏龜到了他們最初遇見的地方（遠離環起點k的位置）
之前我們得到 m + k = (q - 2p) n
即兔子走了q-2p圈，也到了和烏龜同樣的位置
現在我們不讓烏龜走 m+k 步，讓烏龜只走 m 步，兔子也後退k步，即到了環的起點，這是他們第一次相遇的地方。
當他們相遇時，烏龜走的步數就是環的地點在的位置。

求環的長度的問題，第一次相遇後，再次相遇時，走的距離就是環的長度。

#include <stdio.h>  

typedef struct Node  
{  
    int val;  
    Node *next;  
}Node,*pNode;  



//判斷是否有環  
bool isLoop(pNode pHead)  
{  
    pNode fast = pHead;  
    pNode slow = pHead;  
    //如果無環，則fast先走到終點  
    //當連結串列長度為奇數時，fast->Next為空  
    //當連結串列長度為偶數時，fast為空  
    while( fast != NULL && fast->next != NULL)  
    {  

        fast = fast->next->next;  
        slow = slow->next;  
        //如果有環，則fast會超過slow一圈  
        if(fast == slow)  
        {  
            break;  
        }  
    }  

    if(fast == NULL || fast->next == NULL  )  
        return false;  
    else  
        return true;  
}  

//計算環的長度  
int loopLength(pNode pHead)  
{  
    if(isLoop(pHead) == false)  
        return 0;  
    pNode fast = pHead;  
    pNode slow = pHead;  
    int length = 0;  
    bool begin = false;  
    bool agian = false;  
    while( fast != NULL && fast->next != NULL)  
    {  
        fast = fast->next->next;  
        slow = slow->next;  
        //超兩圈後停止計數，挑出迴圈  
        if(fast == slow && agian == true)  
            break;  
        //超一圈後開始計數  
        if(fast == slow && agian == false)  
        {             
            begin = true;  
            agian = true;  
        }  

        //計數  
        if(begin == true)  
            ++length;  

    }  
    return length;  
}  


//求出環的入口點  
Node* findLoopEntrance(pNode pHead)  
{  
    pNode fast = pHead;  
    pNode slow = pHead;  
    while( fast != NULL && fast->next != NULL)  
    {  

        fast = fast->next->next;  
        slow = slow->next;  
        //如果有環，則fast會超過slow一圈  
        if(fast == slow)  
        {  
            break;  
        }  
    }  
    if(fast == NULL || fast->next == NULL)  
        return NULL;  
    slow = pHead;  
    while(slow != fast)  
    {  
        slow = slow->next;  
        fast = fast->next;  
    }  

    return slow;  
}  

參考資料：