下面我們討論群$G$到$G‘$的映射。

一、 同態與同構

　　定義　　設有兩個群$G$和$G‘$. 若存在一個映射$f: G\rightarrow G‘,a\rightarrow f(a)$,且滿足

　　　　　　$$f(a\circ b)=f(a)\circ f(b),\quad \forall a,b\in G.$$

　　　　　　則稱$f$是$G\rightarrow G‘$的一個同態，記作$G\sim G‘$.

　　　　註: 同態定義中等式左邊為$G$中乘法，而等式右邊為$G‘$中的乘法。

　　定義　　若映射$f$是$G\rightarrow G‘$的同態映射，且是一一映射，則稱$f$是$G\rightarrow G‘$的同構

　　　　　　並稱$G‘$同構於$G$，記作$G\cong G‘$. 如果同構映射$f: G\rightarrow G$，那麽稱$f$為群$G$的自同構。

　　如果$G‘$與$G$同態，$G‘$只是部分地反映了$G$的性質。但當$G‘$與$G$同構時，在抽象意義上，$G‘$與$G$的構造是完全一樣的，即在代數上可以認為是一樣的。

　　定義　　把$G$的兩個自同構$f_1$和$f_2$的乘積$f_1\circ f_2$定義為先映射$f_2$再$f_1$.恒等映射$f_0$對應單位元，且每個自同構均有逆$f^{-1}$存在。又映射有結合律，故群$G$的所有自同構$f$構成一個群，稱這個群為群$G$的自同構群

　　定義　　設$f: G\rightarrow G‘$是一個同態映射，我們定義同態象$Im(f)$及同態核$Ker(f)$為

　　　　　　$$Im(f)=\{f(g)|g\in G\},\quad Ker(f)=\{g|g\in G, f(g)=e‘\}$$.

　　定理2.5　　$Im(f)$是$G‘$的一個子群，而$Ker(f)$是$G$的一個正規子群。當$f$是$G$到$G‘$上的映射時，$G‘$同構於商群$G/Ker(f)\cong Im(f)$.

　　定理2.6　　一個同態成為同構的充要條件是$Ker(f)=e,\,Im(f)=G‘$.

下面我們討論更復雜的同態映射鏈，即同態序列。

　　定義　　對於同態映射$f$和$g$的序列$G_1\xrightarrow{f} G_2\xrightarrow{g} G_3$, 如果有$Im(f)=Ker(g)$，即序列中同態$f$的象等於下一個同態$g$的核，那麽稱它在$G_2$處是正合的。

第二章 3. 同態與同構，直積群，自由群