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【線性代數】方程組的幾何解釋

一、二維情況

首先,給出如下的二元一次方程組:

我們初中就對上面的二元一次方程組進行過求解,求解很簡單。但是我們現在利用線性代數來表示這個式子,上式可以表示為:

我們這裡假設用小寫字母表示向量,大寫字母表示矩陣。上面可以二元一次方程組便轉化為求解x,y。下面我們從幾種不同的角度來求解上面的方程組:

1、從行的角度看,也就是畫出上面兩個方程的影象:


很明顯的可以看出方程的解是x=1,y=2。 2、從列的角度看方程組可以表現為列的線性組合

令向量a=[2 -1]',b=[-1 2]',c=[0 3]',則問題變為找到適當的x,y將向量a b 進行線性組合得到向量c。同樣我們可以通過作圖求解:


從上圖可以看到(2,-1)+2(-1,2)=(0,3),從而得到x=1,y=2。

二、三維情況


上面的問題都是在二維平面上進行求解的,下面來看看三維下的情況:首先,給出三元一次方程組:

同樣可以得到其矩陣的表示形式:


還是按照上面的方法分析: 1、從行的角度看,也就是畫出上面三個方程的影象(在這裡變成了三維空間的平面):

上圖的matlab程式碼為:

figure
t=-10:.1:10;
[x,z]=meshgrid(t);
y=2*x;
mesh(x,y,z);
hold on
y=(x+z-1)/2;
mesh(x,y,z)
hold on
y=-(4-4*z)/3;
mesh(x,y,z)
然後人工進行一些修正即可 從圖中可以看出,三個平面交於一點(0 0 1)也就是方程組的解:x=0 y=0 z=1。 2、同樣從列的角度考慮該問題
不用通過計算或作圖,我們從上式就可以輕易得到x=y=0 z=1,這比上面一種方法要簡單得多。 畫出上面四個列向量的圖(其中後兩個列向量相同(0 -1 4)'):

上圖的matlab程式碼為:

a=[2 -1 0];
b=[-1 2 3];
c=[0 -1 4];
quiver3(0,0,0,a(1),a(2),a(3),'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,b(1),b(2),b(3),'color','g')
hold on
quiver3(0,0,0,c(1),c(2),c(3),'color','b')
然後人工標上箭頭,當然也可以通過命令標上箭頭。

作者:nineheadedbird