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常微分方程初等解法（一）

阿新 • • 發佈：2019-01-28

常用定義

首先介紹一下包括向量組的朗斯基行列式(Wronskian)、矩陣的範數、矩陣指數等定義的描述及性質的定義

朗斯基行列式(Wronskian)

定義: 設有nn個定義在區間a≤t≤ba \leq t \leq b上的向量函式
x1(t)=[x11(t)x21(t)⋮xn1(t)]=,⋯ ,x1(t)=[x1n(t)x2n(t)⋮xnn(t)] \boldsymbol{x}_1(t)= \left[ \begin{matrix} x_{11}(t) \\ x_{21}(t) \\ \vdots \\ x_{n1}(t) \\ \end{matrix} \right] =, \cdots, \boldsymbol{x}_1(t)= \left[ \begin{matrix} x_{1n}(t) \\ x_{2n}(t) \\ \vdots \\ x_{nn}(t) \\ \end{matrix} \right]


由這nn個向量函式構成的行列式
W[x1(t),x2(t),⋯ ,xn(t)]≡W≡∣x11(t)x12(t)⋯x1n(t)x21(t)x22(t)⋯x2n(t)⋮⋮⋱⋮xn1(t)xn2(t)⋯xnn(t)∣\boldsymbol{W}\left[ \boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t) \right] \equiv \boldsymbol{W} \equiv \left| \begin{matrix} x_{11}(t) & x_{12}(t) & \cdots & x_{1n}(t) \\ x_{21}(t) & x_{22}(t) & \cdots & x_{2n}(t) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1}(t) & x_{n2}(t) & \cdots & x_{nn}(t) \end{matrix} \right|

稱為這些向量函式的朗斯基行列式(Wronskian)行列式

矩陣範數

定義: 對於n×nn \times n矩陣A=[aij]n×n\mathbf{A}=[a_{ij}]_{n \times n}和nn維向量x=[x1x2⋮xn]\boldsymbol{x}=\left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right]

, 我們定義它的範數為
∣∣A∣∣=∑i,j=1n∣aij∣∣∣x∣∣=∑i=1n∣xi∣ || \mathbf{A} || = \sum_{i,j=1}^{n} | a_{ij} | \qquad ||\boldsymbol{x} || =\sum_{i=1}^n|x_i|

性質: 設A,B\mathbf{A},\mathbf{B}為n×nn \times n矩陣, x,y\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}為nn維向量, 這是容易驗證下面兩個性質:
1.∣∣AB∣∣≤∣∣A∣∣⋅∣∣B∣∣∣∣Ax∣∣≤∣∣A∣∣⋅∣∣x∣∣\begin{aligned} 1.|| \mathbf{A B} || &\leq || \mathbf{A} || \cdot || \mathbf{B} || \\ \quad || \mathbf{A} \boldsymbol{x}|| &\leq || \mathbf{A} || \cdot || \boldsymbol{x} || \end{aligned}
2.∣∣A+B∣∣≤∣∣A∣∣+∣∣B∣∣∣∣x+y∣∣≤∣∣x∣∣+∣∣y∣∣\begin{aligned} 2. || \mathbf{A + B} || &\leq || \mathbf{A} || + || \mathbf{B} || \\ \quad || \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}|| &\leq || \boldsymbol{x} || +|| \boldsymbol{y} || \end{aligned}

矩陣指數

定義: 如果A\mathbf{A}是一個n×nn \times n常數矩陣, 我們定義矩陣指數exp⁡A\exp \mathbf{A}為下面的矩陣級數的和
exp⁡A=∑k=0∞Akk!=E+A+A22!+⋯+Amm!+⋯ \exp \mathbf{A} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\mathbf{A}^k}{k!} = \mathbf{E} + \mathbf{A} + \frac{\mathbf{A^2}}{2!} + \cdots + \frac{\mathbf{A^m}}{m!} + \cdots
其中E\mathbf{E}為nn階單位矩陣, Am\mathbf{A}^m是矩陣A\mathbf{A}的mm次冪. 這裡我們規定A0=E,0!=1\mathbf{A}^0 = \mathbf{E}, 0!=1.

性質:

  1. 級數exp⁡A\exp \mathbf{A}是收斂的
    ∵∣∣Akk!∣∣≤∣∣Ak∣∣k!∴exp⁡A=∑k=0∞Akk!≤∑k=1∞∣∣Ak∣∣k!=n−1+e∣∣A∣∣\because || \frac{\mathbf{A}^k}{k!} || \leq \frac{||\mathbf{A}^k||}{k!} \\ \therefore \exp \mathbf{A} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\mathbf{A}^k}{k!} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{||\mathbf{A}^k||}{k!} = n-1 + e^{||\mathbf{A}||}

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