線性篩

線性篩可以篩出一堆積性函式,逐一複習一下.

莫比烏斯函式

定義:μ(1)=1,若n可以分解為k個互異素數的乘積,則μ(n)=(−1)k,其他情況,μ(n)=0$\mu (1)=1,若n可以分解為k個互異素數的乘積,則\mu (n)=(-1{)}^k,其他情況,\mu (n)=0$
線上性篩中,每個數都只會被它最小的質因數所篩到.
質數的莫比烏斯函式顯然為-1
所以當 i%prime[j]==0 時,n已經有兩個prime[j]的質因子,所以μ(i∗prime[j])=0$\mu (i\ast prime[j])=0$.
另一種情況i%prime[j]!=0,相當於對在當前i的基礎上又多了一個質因子,所以μ(i∗prime[j

])=−μ(i)$\mu (i\ast prime[j])=-\mu (i)$

尤拉函式

定義:ϕ(n)為小於n的,與n互質的數的個數$\varphi (n)為小於n的,與n互質的數的個數$
當p為質數時,ϕ(p)=p−1$\varphi (p)=p-1$
當i%prime[j]==0,ϕ(i∗prime[j])=ϕ(i)∗prime[j]$\varphi (i\ast prime[j])=\varphi (i)\ast prime[j]$
當i%prime[j]!=0,ϕ(i∗prime[j])=ϕ(i)∗ϕ(prime[j])=ϕ(i)∗(prime[j]−1)$\varphi (i\ast prime[j])=\varphi (i)\ast \varphi (prime[j])=\varphi (i)\ast (prime[j]-1)$

約數個數

篩約數個數時,需要要個輔助陣列,儲存最小質因子的個數.

當i為質數時,d[i]=2,num[i]=1$d[i]=2,num[i]=1$
當i%prime[j]==0,d[i∗prime[j]]=d[i]/(num[i]+1)∗(num[i]+2),num[i∗prime[j]]=num[i]+1$d[i\ast prime[j]]=d[i]/(num[i]+1)\ast (num[i]+2),num[i\ast prime[j]]=num[i]+1$
當i%prime[j]!=0,d[i∗prime[j]]=d[i]∗(prime[j]+1),num[i∗prime[j]]=1$d[i\ast prime[j]]=d[i]\ast (prime[j]+1),num[i\ast prime[j]]=1$

約數和

則需要的輔助陣列為最小質因子對答案的貢獻.
當i為質數時,sd[i]=i+1,f[i]=i+1$sd[i]=i+1,f[i]=i+1$
當i%prime[j]==0,

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