壓縮感知學習筆記：稀疏性和可壓縮性
阿新 • • 發佈：2019-01-22
pan 組成 dot 稀疏 筆記 span tex 描述 滿足
\[ ||x||_0:=\text{card} (\text{supp} (x))\leq s \]
符號\(||x||_0\)是\(||x||_0^0\)的省略寫法，它的定義如下
\[ ||x||_p^p:=\lim_{p\to 0}\sum_{j=1}^N |x_j|^p=\sum_{j=1}^N1_{x_j\neq 0}=\text{card}(\{j\in [N]:x_j\neq 0\}) \]
也就是說\(||x||_0\)的值為向量\(x\)的\(l_p\)擬範數的\(p\)次方在\(p\)趨於0時的值。信號稀疏性的概念嚴格約束了向量最多含非零元素的個數，但是但部分情況下，向量無法滿足嚴格稀疏的要求，因此引入可壓縮性弱化稀疏性這一要求。
對於\(p>0\)
\[ \sigma_s(x)_p=\text{inf}\{||x-z||_p,z\in C^N \text{is s-sparse}\} \]
稀疏性和可壓縮性
為了方便描述，定義以下符號：
索引集合 $[N]\subset {1,2,...,N} \(,\)S\(是\)[N]\(個子集表示為\)[N]/S\(，\)\text{card} (S)\(表示集合\)S\(中元素的個數。用\)\bar{S}\(表示全集\)[N]\(中\)S\(的**補集**。 一個向量\)x\in C^N$的支撐區是該向量中非零元素的位置索引組成的集合。即
\[
\text{supp}(x):={j\in[N]:x_j\neq 0}
\]
如果向量\(x\in C^N\)的非零元素個數最多只有\(s\)個，則把向量\(x\)稱為\(\bold{s}\)稀疏向量
\[ ||x||_0:=\text{card} (\text{supp} (x))\leq s \]
符號\(||x||_0\)是\(||x||_0^0\)的省略寫法，它的定義如下
\[ ||x||_p^p:=\lim_{p\to 0}\sum_{j=1}^N |x_j|^p=\sum_{j=1}^N1_{x_j\neq 0}=\text{card}(\{j\in [N]:x_j\neq 0\}) \]
也就是說\(||x||_0\)的值為向量\(x\)的\(l_p\)擬範數的\(p\)次方在\(p\)趨於0時的值。信號稀疏性的概念嚴格約束了向量最多含非零元素的個數，但是但部分情況下，向量無法滿足嚴格稀疏的要求，因此引入可壓縮性弱化稀疏性這一要求。
對於\(p>0\)
\[ \sigma_s(x)_p=\text{inf}\{||x-z||_p,z\in C^N \text{is s-sparse}\} \]
壓縮感知學習筆記：稀疏性和可壓縮性