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［百度面試題］100層樓，球可能會在某一層樓摔壞，問用2個球，最壞情況下幾次測試可以找出該樓層

阿新 • • 發佈：2019-01-20

該題還可以擴充套件，比如說給更多的球，如3個球，多少次測試可以找出樓層。

分析如下：

用動態規劃解這個問題

設f(a, b)為a個球做b次測試可以測試到的樓層數，可以確定的樓層數即為f(a, b) + 1，因為第1層不需測試，需要測試的樓層號僅僅為[2, f(a, b) + 1]共f(a, b)層，也就是a個球b次測試可以測試到的樓層數。考慮第1次測試，測試的樓層記為x：

1）如果球破了，就需要測試x下面的樓層，還剩下a-1個球b-1次測試，測試的樓層數為f(a - 1, b - 1)。

2）如果球沒有破，那麼需要測試x上面的樓層，還剩下a個球b-1次測試，測試的樓層數為f(a, b - 1)。

a個球b次測試為1）2）測試的樓層數及第1次測試了的1層，所以：

f(a, b) = f(a - 1, b - 1) + f(a, b - 1) + 1                                              （1）

考慮初始條件，顯然f(a, 1) = 1（a >= 1，1次測試可以測試到的樓層數當然為1，不論多少個球），f(1, b) = b（b >= 1，1個球做了b次測試當然測試到了b層樓）。

強調一下：注意f(a, b)為測試到的樓層數，f(a, b)加上不需測試的樓層才是可以確定的樓層（f(a, b) + 1）。

動態規劃解（1）式即可。

一般來說，a >= 2（1個球意義不大），可以計算出f(2, 64) = 2080，f(3, 64) = 43744，f(4, 64) = 679120。

程式如下

  1. /* 
  2.  * a balls, n floors, want to find the minimum number of floor 
  3.  * where a ball drops will be broken. output the minimum number 
  4.  * of drops 
  5.  * METHOD: dynamic programming 
  6.  * assum the answer is b, that is the number of drops
     
  7.  * f(a, b): the maximum number of floors, when a balls and b drops 
  8.  * f(a, b) = 1 + f(a, b - 1) + f(a - 1, b - 1) 
  9.  * obviously, f(a, 1) = 1; f(1, b) = b 
  10.  */
  11. #include <stdio.h>
  12. #include <stdlib.h>
  13. #include <assert.h>
  14. #include <string.h>
  15. #define DEBUG
  16. #define MAX_B 64
  17. #define MAX_A 16
  18. #define f(a, b) ff[a - 1][b - 1]
  19. static unsigned int a, n;  
  20. static unsigned longlong ff[MAX_A][MAX_B];  
  21. staticvoid init()  
  22. {  
  23.     int i;  
  24.     memset(ff, 0, sizeof(ff));  
  25.     /*f(a, 1) = 1*/
  26.     for (i = 1; i <= MAX_A; i++){  
  27.         f(i, 1) = 1;  
  28.     }  
  29.     /*f(1, b) = b + 1*/
  30.     for (i = 1; i <= MAX_B; i++){  
  31.         f(1, i) = i;  
  32.     }  
  33. }  
  34. static unsigned longlong do_find_min_drops(int i, int j)  
  35. {  
  36.     if (f(i, j))  
  37.         return f(i, j);  
  38.     f(i, j) = do_find_min_drops(i - 1, j - 1) +   
  39.         do_find_min_drops(i, j - 1) + 1;  
  40.     return f(i, j);  
  41. }  
  42. staticvoid do_print_drops(int i, int j, unsigned longlong min,   
  43.         unsigned longlong max)  
  44. {  
  45.     if (min > max)  
  46.         return;  
  47.     if (1 == i){  
  48.         assert(j == max - min + 1);  
  49.         for (i = min; i <= max; i++){  
  50.             printf("%5d", i);  
  51.         }  
  52.         printf("/n");  
  53.         printf("*************/n");  
  54.         return;  
  55.     }  
  56.     if (1 == j){  
  57.         assert(min == max);  
  58.         printf("%5lld/n", max);  
  59.         printf("*************/n");  
  60.         return;  
  61.     }  
  62.     printf("%5lld", min + f(i - 1, j - 1));  
  63.     do_print_drops(i - 1, j - 1, min, min + f(i - 1, j - 1) - 1);  
  64.     do_print_drops(i, j - 1, min + f(i - 1, j - 1) + 1, max);  
  65. }  
  66. staticvoid print_drops(int ans)  
  67. {  
  68.     do_print_drops(a, ans, 2, n);/*[2..n]*/
  69. }  
  70. staticvoid find_min_drops()  
  71. {  
  72.     /*NOTE: number of floors are [1, n]*/
  73.     int i, j, m;          
  74.     int ans;  
  75. #if 0//def DEBUG
  76.     for (i = 2; i <= MAX_A; i++){  
  77.         for (j = 2; j <= MAX_B; j++){  
  78.             printf("f(%d, %d) = %lld/n", i, j, do_find_min_drops(i, j));  
  79.         }  
  80.         printf("****************/n");  
  81.     }  
  82. #endif
  83.     i = 1;   
  84.     j = MAX_B;  
  85.     while (i <= j){  
  86.         m = (i + j) / 2;  
  87.         if (do_find_min_drops(a, m) + 1 < n)  
  88.         /* 
  89.          * why +1? because the 1st floor need not to test 
  90.          */
  91.             i = m + 1;  
  92.         else
  93.             j = m - 1;  
  94.     }  
  95.     ans = i;  
  96.     if (ans > MAX_B){  
  97.         printf("the number of the maximum drops(MAX_B = %d) is too small/n", MAX_B);  
  98.         printf("maximum floors "
  99.                 "can be tested is f(%d, %d) + 1 = %lld + 1. STOP/n", a, MAX_B, f(a, MAX_B));  
  100.         exit(0);  
  101.     }  
  102.     printf("the minimum drops: %d/n", ans);  
  103.     print_drops(ans);  
  104. #ifdef DEBUG
  105.     for (i = 1; i <= a; i++){  
  106.         for (j = 1; j <= ans; j++){  
  107.             printf("f(%d, %d) = %lld/n", i, j, f(i, j));  
  108.         }  
  109.         printf("****************/n");  
  110.     }  
  111. #endif
  112. }  
  113. int main(int argc, char **argv)  
  114. {  
  115.     if (3 != argc){  
  116.         fprintf(stderr, "usage: %s a n/n", argv[0]);  
  117.         exit(-1);  
  118.     }  
  119.     a = atoi(argv[1]);  
  120.     n = atoi(argv[2]);  
  121.     printf("a = %d/tn = %d/n", a, n);  
  122.     assert(a > 0 && a < MAX_A && n > 0);  
  123.     init();  
  124.     find_min_drops(); /*drops: 1*/
  125.     return 0;  
  126. }  

這裡，我採用遞迴的方法打出了測試過程，解釋如下：

1）2個球，100層樓時，可以計算出

f(2, 13) = 91

f(2, 14) = 105

因此需要的測試次數為14，測試過程為

   15    2    3    4    5    6    7    8    9   10   11   12   13   14

*************

   28   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   27

*************

   40   29   30   31   32   33   34   35   36   37   38   39

*************

   51   41   42   43   44   45   46   47   48   49   50

*************

   61   52   53   54   55   56   57   58   59   60

*************

   70   62   63   64   65   66   67   68   69

*************

   78   71   72   73   74   75   76   77

*************

   85   79   80   81   82   83   84

*************

   91   86   87   88   89   90

*************

   96   92   93   94   95

*************

  100   97   98   99

*************

第1次測試為15層，如果球破了，則剩下的一個球測試[2, 14]，總共的測試次數最多為1+13=14 如果球沒破，則測試28層，如果破了，剩下的一個球測試[16, 27]，總共的測試次數最多為1+1+12 = 14 ... 如果球沒破，測試100層，如果破了，剩下的一個球測試[97, 99]，總共的測試次數最多為1{11} + 3 = 14 如果球沒破，則不存在樓層使得球可以摔破。 2）3個球，100層樓，可以計算出 f(3, 8) = 92 f(3, 9) = 129 因此測試測試最多為9次。測試過程：    38    9    2    3    4    5    6    7    8 第1個球測試38層，如果破了，第2個球測試9層，如果還破了，剩下的一個球測試[2, 8]層，總共的測試次數2 + 7 = 9 *************    16   10   11   12   13   14   15 如果第2個球沒破，則測試16層，如果破了，第3個球測試[10, 15]，總共的測試測試3 + 6 = 9 *************    22   17   18   19   20   21 如果第2個球沒破，則測試22層，如果破了，第3個球測試[17, 21]，總共的測試測試4 + 5 = 9 *************    27   23   24   25   26 如果第2個球沒破，則測試27層，如果破了，第3個球測試[23, 26]，總共的測試測試5 + 4 = 9 *************    31   28   29   30 如果第2個球沒破，則測試31層，如果破了，第3個球測試[28, 30]，總共的測試測試6 + 3 = 9 *************    34   32   33 *************    36   35 *************    37 *************    67   45   39   40   41   42   43   44 如果第1個球沒破，則測試67層，如果破了，第2個球測試45層，如果破了，第3個球測試[39, 44]，總共的測試次數3 + 6 = 9。以下類似，不再重複。 *************    51   46   47   48   49   50 *************    56   52   53   54   55 *************    60   57   58   59 *************    63   61   62 *************    65   64 *************    66 *************    89   73   68   69   70   71   72 *************    78   74   75   76   77 *************    82   79   80   81 *************    85   83   84 *************    87   86 *************    88 *************   105   94   90   91   92   93 *************    98   95   96   97 *************   101   99  100 *************   103  102 *************   104 ************* 3）對於更多球的情況，輸出的測試方法分析起來有些麻煩，但是上面的動態規劃法求出的結果就容易理解了，且是保證正確的。

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