首先開一個n×logn的陣列，比如fa[n][logn],其中fa[i][j]表示i節點的第2^j個父親是誰。

然後，我們會發現有這麼一個性質：

                       fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]

        用文字敘述為：i的第2^j個父親 是i的第2^(j-1)個父親的第2^(j-1)個父親

        這是不是很神奇？這樣，本來我們求i的第k個父親的複雜度是O(k)，現在複雜度變成了O(logk)。

        我們知道，一個數的二進位制形式中，如果右邊數第i位上是1，表示這個數如果分解為若干個2的次冪的和的形式，其中有一項一定是2^(i-1)。舉個例子：10的二進位制表示為1010，它的第2位和第4位上是1，所以10=2^1+2^3。

        下面是求i的第k個父親的程式碼段：

int father(int i,int k)
{
    for(int x=0;x<=int(log2(k));x++)
        if((1<<x)&k)    //(1<<x)&k可以判斷k的二進位制表示中，第(x-1)位上
 
是否為1
            i=fa[i][x];     //把i往上提
    return i;
}

        我們可以通過一次dfs處理出fa陣列：（dep[i]表示i的深度，這個可以一起處理出來，以後要用）

如果待處理的樹有n個節點，那麼最多有一個節點會有2^(logn)個父親，所以我們的fa陣列第二維開logn就夠了。

這裡用max0表示logn。初始化fa為0，若fa[i][j]=0表示i沒有第2^j個父親。

void dfs(int x)
{
    for(int i=1;i<=max0;i++)
        if(fa[x][i-1])   //在dfs(x)之前，x的父輩們的fa陣列都已經計算完畢，所以可以用來計算x
            fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
        else break;    //如果x已經沒有第2^(i-1)個父親了，那麼也不會有更遠的父親，直接break
    for(/*每一個與x相連的節點i*/)
        if(i!=fa[x][0])     //如果i不是x的父親就是x的兒子
        {
            fa[i][0]=x;       //記錄兒子的第一個父親是x
            dep[i]=dep[x]+1;      //處理深度
            dfs(i);
        }
}

 

        倍增的應用中，最基礎的應該就是求LCA(最近公共祖先)，時間複雜度是logn。

        對於求u、v的LCA，我們可以先把u、v用倍增法把深度大的提到和另一個深度相同。如果此時u、v已經相等了，表示原來u、v就在一條樹鏈上，直接返回此時的結果。

        如果此時u、v深度相同但不等，則證明他們的lca在更“淺”的地方，此時需要把u、v一起用倍增法上提到他們的父親相等。為啥是提到父親相等呢？因為倍增法是一次上提很多，所以有可能提“過”了，如果是判斷他們本身作為迴圈終止條件，就無法判斷是否提得過多了，所以要判斷他們父親是否相等。不懂的可以詳見程式碼：

int LCA(int u,int v)
{
    if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);  //我們預設u的深度一開始大於v，那麼如果u的深度小就交換u和v
    int delta=dep[u]-dep[v];    //計算深度差
    for(int x=0;x<=max0;x++)    //此迴圈用於提到深度相同。
        if((1<<x)&delta)
            u=fa[u][x];
    if(u==v)return u;
    for(int x=max0;x>=0;x--)     //注意！此處迴圈必須是從大到小!因為我們應該越提越“精確”，
        if(fa[u][x]!=fa[v][x])   //如果從小到大的話就有可能無法提到正確位置，自己可以多想一下
        {
            u=fa[u][x];
            v=fa[v][x];
        }
    return fa[u][0];    //此時u、v的第一個父親就是LCA。
}

        倍增還可以有很多變化，這讓倍增法可以優更多的變化。比如用data[i][j]記錄i到他的第2^j個父親的路徑長度，就可以邊求LCA邊求出兩點距離，因為data[i][j]滿足倍增的遞推式：data[i][j]=data[i][j-1]+data[fa[i][j-1]][j-1]。或者用maxlen[i][j]記錄i到第2^j個父親的路徑上最長邊的邊權，它滿足maxlen[i][j]=max{maxlen[i][j-1],maxlen[fa[i][j-1]][j-1]}，這樣就可以快速求出兩點路徑上最長邊的邊權……

        總之，倍增是一種較為基礎的處理樹的方式，一定要熟練掌握，可以打幾個模板題先做做，然後找一些經典的倍增習題。