演算法實踐——舞蹈鏈（Dancing Links）演算法求解數獨
本文介紹該演算法的實際運用，利用舞蹈鏈（Dancing Links）演算法求解數獨
在前文中可知，舞蹈鏈（Dancing Links）演算法在求解精確覆蓋問題時效率驚人。
那利用舞蹈鏈（Dancing Links）演算法求解數獨問題，實際上就是下面一個流程
1、把數獨問題轉換為精確覆蓋問題
2、設計出資料矩陣
3、用舞蹈鏈（Dancing Links）演算法求解該精確覆蓋問題
4、把該精確覆蓋問題的解轉換為數獨的解
首先看看數獨問題（9*9的方格）的規則
1、每個格子只能填一個數字
2、每行每個數字只能填一遍
3、每列每個數字只能填一遍
4、每宮每個數字只能填一遍（宮的概念，參看“
那現在就是利用這個規則把數獨問題轉換為精確覆蓋問題
可是，直觀上面的規則，發現比較難以轉換為精確覆蓋問題。因此，把上面的表述換個說法
1、每個格子只能填一個數字
2、每行1-9的這9個數字都得填一遍（也就意味著每個數字只能填一遍）
3、每列1-9的這9個數字都得填一遍
4、每宮1-9的這9個數字都得填一遍
這樣理解的話，數獨問題轉換為精確覆蓋問題就相對簡單多了。關鍵就是如何構造精確覆蓋問題中的矩陣
我們把矩陣的每個列都定義成一個約束條件。
第1列定義成：（1，1）填了一個數字
第2列定義成：（1，2）填了一個數字
……
第9列定義成：（1，9）填了一個數字
第10列定義成：（2，1）填了一個數字
……
第18列定義成：（2，9）填了一個數字
……
第81列定義成：（9，9）填了一個數字
至此，用第1-81列完成了約束條件1：每個格子只能填一個數字
第N列（1≤N≤81）定義成：（X，Y）填了一個數字。
N、X、Y之間的關係是：X=INT（（N-1）/9）+1；Y=（（N-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y
第82列定義成：在第1行填了數字1
第83列定義成：在第1行填了數字2
……
第90列定義成：在第1行填了數字9
第91列定義成：在第2行填了數字1
……
第99列定義成：在第2行填了數字9
……
第162列定義成：在第9行填了數字9
至此，用第82-162列（共81列）完成了約束條件2：每行1-9的這9個數字都得填一遍
第N列（82≤N≤162）定義成：在第X行填了數字Y。
N、X、Y之間的關係是：X=INT（（N-81-1）/9）+1；Y=（（N-81-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y+81
第163列定義成：在第1列填了數字1
第164列定義成：在第1列填了數字2
……
第171列定義成：在第1列填了數字9
第172列定義成：在第2列填了數字1
……
第180列定義成：在第2列填了數字9
……
第243列定義成：在第9列填了數字9
至此，用第163-243列（共81列）完成了約束條件3：每列1-9的這9個數字都得填一遍
第N列（163≤N≤243）定義成：在第X列填了數字Y。
N、X、Y之間的關係是：X=INT（（N-162-1）/9）+1；Y=（（N-162-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y+162
第244列定義成：在第1宮填了數字1
第245列定義成：在第1宮填了數字2
……
第252列定義成：在第1宮填了數字9
第253列定義成：在第2宮填了數字1
……
第261列定義成：在第2宮填了數字9
……
第324列定義成：在第9宮填了數字9
至此，用第244-324列（共81列）完成了約束條件4：每宮1-9的這9個數字都得填一遍
第N列（244≤N≤324）定義成：在第X宮填了數字Y。
N、X、Y之間的關係是：X=INT（（N-243-1）/9）+1；Y=（（N-243-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y+243
至此，用了324列完成了數獨的四個約束條件，矩陣的列定義完成
那接下來，就是把數獨轉換為矩陣
數獨問題中，每個格子分兩種情況。有數字的格子、沒數字的格子。
有數字的格子
以例子來說明，在（4，2）中填的是7
把（4，2）中填的是7，解釋成4個約束條件
1、在（4，2）中填了一個數字。
2、在第4行填了數字7
3、在第2列填了數字7
4、在第4宮填了數字7（座標（X，Y）到宮N的公式為：N=INT（（X-1）/3）×3+INT（（Y-1）/3）+1）
那麼這4個條件，分別轉換成矩陣對應的列為
1、在（4，2）中填了一個數字。對應的列N=（4-1）×9+2=29
2、在第4行填了數字7。對應的列N=（4-1）×9+7+81=115
3、在第2列填了數字7。對應的列N=（2-1）×9+7+162=178
4、在第4宮填了數字7。對應的列N=（4-1）×9+7+243=277
於是，（4，2）中填的是7，轉成矩陣的一行就是，第29、115、178、277列是1，其餘列是0。把這1行插入到矩陣中去。
沒數字的格子
還是舉例說明，在（5，8）中沒有數字
把（5，8）中沒有數字轉換成
（5，8）中填的是1，轉成矩陣的一行就是，第44、118、226、289列是1，其餘列是0。
（5，8）中填的是2，轉成矩陣的一行就是，第44、119、227、290列是1，其餘列是0。
（5，8）中填的是3，轉成矩陣的一行就是，第44、120、228、291列是1，其餘列是0。
（5，8）中填的是4，轉成矩陣的一行就是，第44、121、229、292列是1，其餘列是0。
（5，8）中填的是5，轉成矩陣的一行就是，第44、122、230、293列是1，其餘列是0。
（5，8）中填的是6，轉成矩陣的一行就是，第44、123、231、294列是1，其餘列是0。
（5，8）中填的是7，轉成矩陣的一行就是，第44、124、232、295列是1，其餘列是0。
（5，8）中填的是8，轉成矩陣的一行就是，第44、125、233、296列是1，其餘列是0。
（5，8）中填的是9，轉成矩陣的一行就是，第44、126、234、297列是1，其餘列是0。
把這9行插入到矩陣中。由於這9行的第44列都是1（不會有其他行的44列會是1），也就是說這9行中必只有1行（有且只有1行）選中（精確覆蓋問題的定義，每列只能有1個1），是最後解的一部分。這就保證了最後解在（5，8）中只有1個數字。
這樣，從數獨的格子依次轉換成行（1行或者9行）插入到矩陣中。完成了數獨問題到精確覆蓋問題的轉換。
Public Interface I_Sudoku
Function SetLine(ByVal Row As Integer, ByVal ParamArray Value() As Integer) As Boolean
Function Calculate() As String
Sub Init()
End Interface
Public Class clsSudokuDLX
Implements I_Sudoku
Private _Dance As clsDancingLinks
Private _Num(80) As Integer
Public Sub New()
Init()
End Sub
Public Function SetLine(Row As Integer, ParamArray Value() As Integer) As Boolean Implements I_Sudoku.SetLine
Dim I As Integer
For I = 0 To IIf(Value.Length < 10, Value.Length - 1, 8)
_Num(Row * 9 - 9 + I) = Value(I)
Next
Return True
End Function
Public Function Calculate() As String Implements I_Sudoku.Calculate
Dim I As Integer, J As Integer
Dim X As Integer, Y As Integer
Dim Index As New List(Of Integer), Value As New List(Of Integer)
Dim C1 As Integer, C2 As Integer, C3 As Integer, C4 As Integer
For I = 0 To 80
X = Int(I / 9)
Y = I Mod 9
If _Num(I) > 0 Then
C1 = X * 9 + Y + 1
C2 = X * 9 + _Num(I) + 81
C3 = Y * 9 + _Num(I) + 162
C4 = (Int(X / 3) * 3 + Int(Y / 3)) * 9 + _Num(I) + 243
_Dance.AppendLineByIndex(C1, C2, C3, C4)
Index.Add(I)
Value.Add(_Num(I))
Else
C1 = X * 9 + Y + 1
C2 = X * 9 + 1 + 81
C3 = Y * 9 + 1 + 162
C4 = (Int(X / 3) * 3 + Int(Y / 3)) * 9 + 1 + 243
_Dance.AppendLineByIndex(C1, C2, C3, C4)
Index.Add(I)
Value.Add(1)
For J = 2 To 9
_Dance.AppendLineByIndex(C1, C2 + J - 1, C3 + J - 1, C4 + J - 1)
Index.Add(I)
Value.Add(J)
Next
End If
Next
Dim P() As Integer = _Dance.Dance
For I = 0 To 80
_Num(Index.Item(P(I) - 1)) = Value.Item(P(I) - 1)
Next
Dim V As String = ""
For I = 0 To 80
V = V & _Num(I) & " "
If I Mod 9 = 8 Then V &= vbNewLine
Next
Return V
End Function
Public Sub Init() Implements I_Sudoku.Init
_Dance = New clsDancingLinks(324)
Dim I As Integer
For I = 0 To 80
_Num(I) = 0
Next
End Sub
End Class
上面的程式碼給出了clsSudokuDLX的程式碼，通過呼叫clsDancingLinks類來求解數獨。I_Sudoku介面沒什麼特殊意義，僅僅是為了測試方便而已。clsDancingLinks類的程式碼這裡就不貼了，在“跳躍的舞者，舞蹈鏈（Dancing Links）演算法——求解精確覆蓋問題”裡有
對三個數獨問題求解來對比演算法的效率
先看看三個數獨
數獨一：簡單的數獨
數獨二：有點難度的數獨
數獨三：高難度的數獨。雖然和數獨二比較僅僅差了一個數字的位置，但是求解的難度提高了不止一個等級。
時間效率的對比
我們分別對三個數獨進行百次的求解，剔除明顯異於平均的時間，再取平均值
暴力破解法
數獨一：0.114毫秒
數獨二：0.238毫秒
數獨三：15.706毫秒
舞蹈鏈（Dancing Links）演算法
數獨一：876.161毫秒（這個差距有點大，近乎7700倍，和我的期望值差距比較大）
數獨二：775839.5毫秒=775秒840毫秒≈12.93分鐘（我只做了三次測試，第一次等了5分鐘，沒結果，就退出了；第二次777348毫秒；第三次774331毫秒）
數獨三：只做了一次測試，時間約40分鐘，還沒結果，就退出了
從上面的測試結果來看，舞蹈鏈（Dancing Links）演算法從時間效率的角度來看，是完敗於暴力破解法的
空間效率的對比
暴力破解法
數獨一：在求解的過程中，一路唯一數單元格到底，沒有快取資料。故空間佔用81位元組。
數獨二：在求解的過程中，最多向棧Q快取了12步的資料。故佔用空間81+12*81=972位元組
數獨三：在求解的過程中，最多向棧Q快取了21步的資料。故佔用空間81+21*81=1782位元組
舞蹈鏈（Dancing Links）演算法
數獨一：題目提供了32個數字，則矩陣一共有32*1+（81-32）*9=473行，每行4個節點，則一共有473*4+324+1=2217個節點。每個節點6個分量，則一共要13302個位元組。另程式在每行額外提供2個位元組快取相關資訊。故一共要11844+473*2=14248位元組
數獨二：題目提供了21個數字，則矩陣一共有21*1+（81-21）*9=561行，每行4個節點，則一共有561*4+324+1=2569個節點。每個節點6個分量，則一共要15414個位元組。另程式在每行額外提供2個位元組快取相關資訊。故一共要15414+561*2=16536位元組
數獨三：題目提供了21個數字，則矩陣一共有21*1+（81-21）*9=561行，每行4個節點，則一共有561*4+324+1=2569個節點。每個節點6個分量，則一共要15414個位元組。另程式在每行額外提供2個位元組快取相關資訊。故一共要15414+561*2=16536位元組
以上的分析，舞蹈鏈（Dancing Links）演算法從空間效率的角度來看，是完敗於暴力破解法的
做分析做到這，結果出乎我的意料。雖然我估計舞蹈鏈（Dancing Links）演算法不見得優於暴力破解法，但沒想到差距會那麼大。不過，也可以理解，舞蹈鏈（Dancing Links）演算法僅僅是利用了十字雙向迴圈鏈的資料結構解決了快取和回溯的難題，但本質上還是回溯法，還是暴力破解法。
針對該數獨問題進行優化舞蹈鏈（Dancing Links）演算法
回顧前文“跳躍的舞者，舞蹈鏈（Dancing Links）演算法——求解精確覆蓋問題”，可以發現，在Dance（K）函式呼叫的時候，是直接呼叫_Head.Right來獲得未求解列。由於精確覆蓋問題是要求每個列都要覆蓋到，因此，在演算法中呼叫未求解列的先後順序那就不是最重要了。假如，現在有兩個未求解列C1和C2，C1列有8個元素，C2列有4個元素。最壞的情況，從C1列求解，需要呼叫8次Dance（K+1），而從C2列求解，需要呼叫4次Dance（K+1）。感覺上從C2列求解比從C1列求解效率要高些。因此，在Dance（K）函式呼叫的時候，先找尋列元素最少的未求解列，再依次求解，可能效率會高點。我們把這個稱之為改進的舞蹈鏈（Improve Dancing Links）演算法
給每個列首元素（除卻Head元素）新增一個Count分量，表示這個列首所在列的其他元素的個數。
因此，在原演算法的基礎上，把C1=Head.Right改成獲得Count分量最少的列首元素。程式碼貼於下方，修改的部分用紅色標示
Public Class clsDancingLinksImprove
Private Left() As Integer, Right() As Integer, Up() As Integer, Down() As Integer
Private Row() As Integer, Col() As Integer
Private _Head As Integer
Private _Rows As Integer, _Cols As Integer, _NodeCount As Integer
Private Count() As Integer
Private Ans() As Integer
Public Sub New(ByVal Cols As Integer)
ReDim Left(Cols), Right(Cols), Up(Cols), Down(Cols), Row(Cols), Col(Cols), Ans(Cols)
ReDim Count(Cols)
Dim I As Integer
Up(0) = 0
Down(0) = 0
Right(0) = 1
Left(0) = Cols
For I = 1 To Cols
Up(I) = I
Down(I) = I
Left(I) = I - 1
Right(I) = I + 1
Col(I) = I
Row(I) = 0
Count(I) = 0
Next
Right(Cols) = 0
_Rows = 0
_Cols = Cols
_NodeCount = Cols
_Head = 0
End Sub
Public Sub AppendLine(ByVal ParamArray Value() As Integer)
_Rows += 1
If Value.Length = 0 Then Exit Sub
Dim I As Integer, K As Integer = 0
For I = 0 To Value.Length - 1
If Value(I) = 1 Then
_NodeCount += 1
ReDim Preserve Left(_NodeCount)
ReDim Preserve Right(_NodeCount)
ReDim Preserve Up(_NodeCount)
ReDim Preserve Down(_NodeCount)
ReDim Preserve Row(_NodeCount)
ReDim Preserve Col(_NodeCount)
ReDim Preserve Ans(_NodeCount)
If K = 0 Then
Left(_NodeCount) = _NodeCount
Right(_NodeCount) = _NodeCount
K = 1
Else
Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1
Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1)
Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount
Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount
End If
Down(_NodeCount) = I + 1
Up(_NodeCount) = Up(I + 1)
Down(Up(I + 1)) = _NodeCount
Up(I + 1) = _NodeCount
Row(_NodeCount) = _Rows
Col(_NodeCount) = I + 1
Count(I + 1) += 1
End If
Next
End Sub
Public Sub AppendLineByIndex(ByVal ParamArray Index() As Integer)
_Rows += 1
If Index.Length = 0 Then Exit Sub
Dim I As Integer, K As Integer = 0
ReDim Preserve Left(_NodeCount + Index.Length)
ReDim Preserve Right(_NodeCount + Index.Length)
ReDim Preserve Up(_NodeCount + Index.Length)
ReDim Preserve Down(_NodeCount + Index.Length)
ReDim Preserve Row(_NodeCount + Index.Length)
ReDim Preserve Col(_NodeCount + Index.Length)
ReDim Preserve Ans(_NodeCount + Index.Length)
For I = 0 To Index.Length - 1
_NodeCount += 1
If I = 0 Then
Left(_NodeCount) = _NodeCount
Right(_NodeCount) = _NodeCount
Else
Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1
Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1)
Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount
Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount
End If
Down(_NodeCount) = Index(I)
Up(_NodeCount) = Up(Index(I))
Down(Up(Index(I))) = _NodeCount
Up(Index(I)) = _NodeCount
Row(_NodeCount) = _Rows
Col(_NodeCount) = Index(I)
Count(Index(I)) += 1
Next
End Sub
Public Function Dance() As Integer()
Return IIf(Dance(0) = True, Ans, Nothing)
End Function
Private Function Dance(ByVal K As Integer) As Boolean
If (Right(_Head) = _Head) Then
ReDim Preserve Ans(K - 1)
Return True
End If
Dim P As Integer, C1 As Integer
P = Right(_Head)
C1 = P
Do While P <> _Head
If Count(P) < Count(C1) Then C1 = P
P = Right(P)
Loop
If Count(C1) < 1 Then Return False
RemoveCol(C1)
Dim I As Integer, J As Integer
I = Down(C1)
Do While I <> C1
Ans(K) = Row(I)
J = Right(I)
Do While J <> I
RemoveCol(Col(J))
J = Right(J)
Loop
If Dance(K + 1) Then Return True
J = Left(I)
Do While J <> I
ResumeCol(Col(J))
J = Left(J)
Loop
I = Down(I)
Loop
ResumeCol(C1)
Return False
End Function
Public Sub RemoveCol(ByVal ColIndex As Integer)
Left(Right(ColIndex)) = Left(ColIndex)
Right(Left(ColIndex)) = Right(ColIndex)
Dim I As Integer, J As Integer
I = Down(ColIndex)
Do While I <> ColIndex
J = Right(I)
Do While J <> I
Up(Down(J)) = Up(J)
Down(Up(J)) = Down(J)
Count(Col(J)) -= 1
J = Right(J)
Loop
I = Down(I)
Loop
End Sub
Public Sub ResumeCol(ByVal ColIndex As Integer)
Left(Right(ColIndex)) = ColIndex
Right(Left(ColIndex)) = ColIndex
Dim I As Integer, J As Integer
I = Up(ColIndex)
Do While (I <> ColIndex)
J = Right(I)
Do While J <> I
Up(Down(J)) = J
Down(Up(J)) = J
Count(Col(J)) += 1
J = Right(J)
Loop
I = Up(I)
Loop
End Sub
End Class
這樣修改後還有一個好處是，如果Count分量最少的列首元素的Count分量是0的話，那麼說明當前無解（說明沒有行能覆蓋該列首元素所在的列），直接返回False，省掉呼叫Dance（K+1）的步驟。
看看改進的舞蹈鏈（Improve Dancing Links）演算法的效率
時間效率
數獨一：6.31毫秒
數獨二：8.50毫秒
數獨三：11.34毫秒
空間效率
數獨一：題目提供了32個數字，則矩陣一共有32*1+（81-32）*9=473行，每行4個節點，則一共有473*4+324+1=2217個節點。每個節點6個分量，則一共要13302個位元組。另程式在每行額外提供2個位元組快取相關資訊，每個列要增加Count分量。故一共要13302+473*2+325=14573位元組
數獨二：題目提供了21個數字，則矩陣一共有21*1+（81-21）*9=561行，每行4個節點，則一共有561*4+324+1=2569個節點。每個節點6個分量，則一共要15414個位元組。另程式在每行額外提供2個位元組快取相關資訊。每個列要增加Count分量。故一共要15414+561*2+325=16861位元組
數獨三：題目提供了21個數字，則矩陣一共有21*1+（81-21）*9=561行，每行4個節點，則一共有561*4+324+1=2569個節點。每個節點6個分量，則一共要15414個位元組。另程式在每行額外提供2個位元組快取相關資訊。每個列要增加Count分量。故一共要15414+561*2+325=16861位元組
以上的分析，改進的舞蹈鏈（Improve Dancing Lonks）演算法在空間效率上還是完敗。但是時間效率上從看，在低難度的數獨問題上，雖然和暴力破解法還是有差距，但是差距比沒有優化前要小了很多；在高難度的數度問題上，時間效率比暴力破解法要高。
舞蹈鏈（Dancing Links）演算法針對數獨問題還能再優化。我們來看看第二個優化的方向
在求解精確覆蓋問題中，返回的答案實際上是行的集合，集合的一個特性是無序性。也就意味著，如果答案是唯一的話，改變行在矩陣中的順序，不影響最後答案的輸出，無論這行換到什麼位置，最後的答案始終包含著這行（如果答案不是唯一的，也沒啥太大的影響）。也就是說，行的順序不影響最終答案的求解。
我們就從這個方向入手
在構造矩陣的時候，先遍歷數獨的格子，先把有數字的格子轉換為行，插入到矩陣中。很顯然，這些行一定會被選中（想想看麼，原問題中（4，2）填的是7，如果該行沒選中，結果出現了（4，2）填的是9，那不是一件很搞笑的事麼）。
由於是精確覆蓋問題，每列只能有1個1，而上面的插入的幾行一定會被選中。那麼，在接下來插入的行如果和上面的行相沖的話（兩個行有相同的列有1），那麼，後插入的行是個無效的行（肯定不會被選中）。這些無效的行插入到矩陣中，雖然不會影響最終的結果，但是肯定影響求解的效率（空間和時間都有所損耗），而這樣的無效行其實有不少。
我們要採用特殊的手法，來避免這些無效的行插入到矩陣中。分兩步走
1、先遍歷數獨的格子，把那些有數字的格子轉換為行，插入到矩陣中。在插入的同時，把包含1的列的列首元素的Count分量設定為-1（起到後面判別的作用）。
由於這些行一定能被選中，是答案的一部分，那麼把這些行的行號置入到答案列表中，並把這些列的列首元素從水平雙向鏈中移除（手動移除比呼叫RemoveCol方法快）
2、在遍歷沒有數字的格子，轉換為若干行（1個格子9行）插入到矩陣中。在插入到矩陣的時候，判斷包含1的列的列首元素的Count分量。如果是-1，說明新插入的行和第1步中的某些行相沖，是個無效行，沒有必要插入到矩陣中；如果不是-1，說明是個有效行，插入到矩陣中。
經過這個優化，能大大減少矩陣的規模（列不變，行減少了不少），我們稱之為數獨的舞蹈鏈（Sudoku Dancing Links）演算法。
Public Class clsSudokuDLXBySudoku
Implements I_Sudoku
Private _Dance As clsDancingLinksSudoku
Private _Num(80) As Integer
Public Sub New()
Init()
End Sub
Public Function SetLine(Row As Integer, ParamArray Value() As Integer) As Boolean Implements I_Sudoku.SetLine
Dim I As Integer
For I = 0 To IIf(Value.Length < 10, Value.Length - 1, 8)
_Num(Row * 9 - 9 + I) = Value(I)
Next
Return True
End Function
Public Function Calculate() As String Implements I_Sudoku.Calculate
Dim I As Integer, J As Integer
Dim X As Integer, Y As Integer
Dim Index As New List(Of Integer), Value As New List(Of Integer)
Dim C1 As Integer, C2 As Integer, C3 As Integer, C4 As Integer
For I = 0 To 80
X = Int(I / 9)
Y = I Mod 9
If _Num(I) > 0 Then
C1 = X * 9 + Y + 1
C2 = X * 9 + _Num(I) + 81
C3 = Y * 9 + _Num(I) + 162
C4 = (Int(X / 3) * 3 + Int(Y / 3)) * 9 + _Num(I) + 243
_Dance.AppendLineByIndex(C1, C2, C3, C4)
Index.Add(I)
Value.Add(_Num(I))
End If
Next
_Dance.CompleteInsertMustSelectRow()
For I = 0 To 80
X = Int(I / 9)
Y = I Mod 9
If _Num(I) = 0 Then
C1 = X * 9 + Y + 1
C2 = X * 9 + 1 + 81
C3 = Y * 9 + 1 + 162
C4 = (Int(X / 3) * 3 + Int(Y / 3)) * 9 + 1 + 243
If _Dance.AppendLineByIndex(C1, C2, C3, C4) = True Then
Index.Add(I)
Value.Add(1)
End If
For J = 2 To 9
If _Dance.AppendLineByIndex(C1, C2 + J - 1, C3 + J - 1, C4 + J - 1) = True Then
Index.Add(I)
Value.Add(J)
End If
Next
End If
Next
Dim P() As Integer = _Dance.Dance
For I = 0 To 80
_Num(Index.Item(P(I) - 1)) = Value.Item(P(I) - 1)
Next
Dim V As String = ""
For I = 0 To 80
V = V & _Num(I) & " "
If I Mod 9 = 8 Then V &= vbNewLine
Next
Return V
End Function
Public Sub Init() Implements I_Sudoku.Init
_Dance = New clsDancingLinksSudoku(324)
Dim I As Integer
For I = 0 To 80
_Num(I) = 0
Next
End Sub
End Class
Public Class clsDancingLinksSudoku
Private Left() As Integer, Right() As Integer, Up() As Integer, Down() As Integer
Private Row() As Integer, Col() As Integer
Private _Head As Integer
Private _Rows As Integer, _Cols As Integer, _NodeCount As Integer
Private Count() As Integer
Private Ans() As Integer
Private _HadInsertMustSelectRow As Integer
Public Sub New(ByVal Cols As Integer)
ReDim Left(Cols), Right(Cols), Up(Cols), Down(Cols), Row(Cols), Col(Cols), Ans(Cols)
ReDim Count(Cols)
Dim I As Integer
Up(0) = 0
Down(0) = 0
Right(0) = 1
Left(0) = Cols
For I = 1 To Cols
Up(I) = I
Down(I) = I
Left(I) = I - 1
Right(I) = I + 1
Col(I) = I
Row(I) = 0
Count(I) = 0
Next
Right(Cols) = 0
_Rows = 0
_Cols = Cols
_NodeCount = Cols
_Head = 0
_HadInsertMustSelectRow = 0
End Sub
Public Function AppendLine(ByVal ParamArray Value() As Integer) As Boolean
Dim V As New List(Of Integer)
Dim I As Integer
For I = 0 To Value.Length - 1
If Value(I) = 1 Then V.Add(I + 1)
Next
Return AppendLineByIndex(V.ToArray)
End Function
Public Function AppendLineByIndex(ByVal ParamArray Index() As Integer) As Boolean
Dim I As Integer, K As Integer = 0
If _HadInsertMustSelectRow > 0 Then
If Index.Length = 0 Then
_Rows += 1
Return True
Else
For I = 0 To Index.Length - 1
If Count(Index(I)) = -1 Then Return False
Next
End If
Else
If Index.Length = 0 Then Return False
End If
_Rows += 1
ReDim Preserve Left(_NodeCount + Index.Length)
ReDim Preserve Right(_NodeCount + Index.Length)
ReDim Preserve Up(_NodeCount + Index.Length)
ReDim Preserve Down(_NodeCount + Index.Length)
ReDim Preserve Row(_NodeCount + Index.Length)
ReDim Preserve Col(_NodeCount + Index.Length)
ReDim Preserve Ans(_NodeCount + Index.Length)
For I = 0 To Index.Length - 1
_NodeCount += 1
If I = 0 Then
Left(_NodeCount) = _NodeCount
Right(_NodeCount) = _NodeCount
Else
Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1
Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1)
Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount
Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount
End If
Down(_NodeCount) = Index(I)
Up(_NodeCount) = Up(Index(I))
Down(Up(Index(I))) = _NodeCount
Up(Index(I)) = _NodeCount
Row(_NodeCount) = _Rows
Col(_NodeCount) = Index(I)
If _HadInsertMustSelectRow > 0 Then
Count(Index(I)) += 1
Else
Count(Index(I)) = -1
End If
Next
Return True
End Function
Public Sub CompleteInsertMustSelectRow()
Dim I As Integer
For I = 1 To _Cols
If Count(I) = -1 Then
Left(Right(I)) = Left(I)
Right(Left(I)) = Right(I)
End If
Next
For I = 1 To _Rows
Ans(I - 1) = I
Next
_HadInsertMustSelectRow = _Rows
End Sub
Public Function Dance() As Integer()
Return IIf(Dance(_HadInsertMustSelectRow) = True, Ans, Nothing)
End Function
Private Function Dance(ByVal K As Integer) As Boolean
If (Right(_Head) = _Head) Then
ReDim Preserve Ans(K - 1)
Return True
End If
Dim P As Integer, C1 As Integer
P = Right(_Head)
C1 = P
Do While P <> _Head
If Count(P) < Count(C1) Then C1 = P
P = Right(P)
Loop
If Count(C1) < 1 Then Return False
RemoveCol(C1)
Dim I As Integer, J As Integer
I = Down(C1)
Do While I <> C1
Ans(K) = Row(I)
J = Right(I)
Do While J <> I
RemoveCol(Col(J))
J = Right(J)
Loop
If Dance(K + 1) Then Return True
J = Left(I)
Do While J <> I
ResumeCol(Col(J))
J = Left(J)
Loop
I = Down(I)
Loop
ResumeCol(C1)
Return False
End Function
Public Sub RemoveCol(ByVal ColIndex As Integer)
Left(Right(ColIndex)) = Left(ColIndex)
Right(Left(ColIndex)) = Right(ColIndex)
Dim I As Integer, J As Integer
I = Down(ColIndex)
Do While I <> ColIndex
J = Right(I)
Do While J <> I
Up(Down(J)) = Up(J)
Down(Up(J)) = Down(J)
Count(Col(J)) -= 1
J = Right(J)
Loop
I = Down(I)
Loop
End Sub
Public Sub ResumeCol(ByVal ColIndex As Integer)
Left(Right(ColIndex)) = ColIndex
Right(Left(ColIndex)) = ColIndex
Dim I As Integer, J As Integer
I = Up(ColIndex)
Do While (I <> ColIndex)
J = Right(I)
Do While J <> I
Up(Down(J)) = J
Down(Up(J)) = J
Count(Col(J)) += 1
J = Right(J)
Loop
I = Up(I)
Loop
End Sub
End Class
通過_HadInsertMustSelectRow來決定插入行的資料。如果_HadInsertMustSelectRow=0說明當前插入行為必選行，設定Count（J）的值為-1。如果_HadInsertMustSelectRow>0說明當前行為可選行，判斷和之前的必選行是否有衝突，如果有，說明本行必不可選，不比再插入到矩陣裡了。通過CompleteInsertMustSelectRow方法來修改_HadInsertMustSelectRow引數，來決定行的性質
數獨的舞蹈鏈（Sudoku Dancing Links）演算法的效率
時間效率
數獨一：1.31毫秒
數獨二：2.81毫秒
數獨三：5.56毫秒
空間效率
數獨一：矩陣一共有164行，每行4個節點，則一共有164*4+324+1=981個節點。每個節點6個分量，則一共要5886個位元組。另程式在每行額外提供2個位元組快取相關資訊，每個列要增加Count分量。故一共要5886+164*2+325=6539位元組
數獨二：矩陣一共有276行，每行4個節點，則一共有276*4+324+1=1429個節點。每個節點6個分量，則一共要8574個位元組。另程式在每行額外提供2個位元組快取相關資訊。每個列要增加Count分量。故一共要8574+276*2+325=9451位元組
數獨三：矩陣一共有275行，每行4個節點，則一共有275*4+324+1=1425個節點。每個節點6個分量，則一共要8550個位元組。另程式在每行額外提供2個位元組快取相關資訊。每個列要增加Count分量。故一共要8550+275*2+325=9425位元組
可以看出，數獨的舞蹈鏈（Sudoku Dancing Links）演算法比改進的舞蹈鏈演算法（Improve Dancing Links）演算法，無論是時間效率上還是空間效率上都有了很大的改進。但是和暴力破解法相比，在簡單的數獨問題上，時間和空間都不佔優勢，在高難度的數獨問題上，數獨的舞蹈鏈演算法還是在時間上佔有一點優勢的。這還是說明了一點，舞蹈鏈（Dancing Links）演算法本質上也是暴力破解法，只是利用巧妙的資料結構實現了高效的快取和回溯。
以上是我對用舞蹈鏈（Dancing Links）演算法求解數獨問題的分析，經過兩次優化後，