本文是準備找工作過程中關於位運算的一些積累和記錄的整理。注意：部分位運算的處理結果依賴於變數所屬型別的字長，使用時請結合具體環境修改。

1.XOR應用

性質：滿足交換率、結合律，一個數與其自身異或結果為0。

(1)不用中間變數，交換兩數

a = a^b;
b = b^a; //b = b^(a^b),thus b becomes the earlier a
a = a^b; //a = (a^b)^a,thus a becomes the earlier b

擴充套件：不用異或，同樣也能不用中間變數，交換兩數

a = a - b;
b = a + b; // b = (a - b)+ b, thus b becomes the earlier a
 

a = b - a; // a = a - (a - b),  thus a becomes the earlier b

但是這種方式引入了一個陷阱，如果a是一個很大的正數而b是一個很小的負數，那麼a-b就會溢位。雖然在b=a+b時可能會通過再一次溢位從而獲得真實的a的值，不推薦這種利用未定義行為的解法。

如何理解這種解法？其實第一行是a=a-b還是a=a+b再或者是a=a*b都可以，對應地在第二行把b通過這個式子和b本身的運算求出a即可，再在第三行利用ab的組合值以及原先的a求解b。明顯地，使用*比+或-更容易溢位。理解後，完全不必死記硬背這三個式子，看成是解方程就不難了。

(2)尋找只出現1次的一個數，其他數出現偶數次（或尋找唯一一個出現奇數次的數，其他數出現偶數次）

解法：全部數做XOR，最後的結果就是要找的數。

擴充套件：尋找出現奇數次的數，其他不必尋找的數只出現偶數次。 

常見的面試題擴充套件，思路還是原來的思路，先全部XOR一遍，在獲得的結果上，對每一位為1（即可能有兩個不同的數，二進位制標識中該位不同）進行分組，構造出所有待找出的數。

這麼概括很抽象，看一道具體的筆試題吧，通過解題就容易理解了。

（小米2013校招筆試題）一個數組裡，除了三個數是唯一出現的，其餘的都出現偶數個，找出這三個數中的任一個。比如陣列元素為【1, 2,4,5,6,4,2】，只有1,5,6這三個數字是唯一出現的，我們只需要輸出1,5,6中的一個就行。

(3)NIM遊戲的狀態分析

　　請參考《程式設計之美》1.12 NIM(2) “拈”遊戲分析。其核心是，兩種完全不同的狀態（安全狀態和不安全狀態）的XOR值恰為0和1。

2.加法，不用+-*/做加法（《劍指Offer》面試題47）

迭代版本（《劍指Offer》面試題47）

int Add(int num1,int num2)
{
    int sum,carry;
    do {
        sum = num1^num2;
        carry= (num1 & num2)<<1;
        num1 = sum;
        num2 = carry;
    } while (num2!=0)
    return num1;
}

遞迴版本（CareerCup 20.1）

int add_no_arithm(int num1,int num2)
{
    if(num2 == 0)
        return num1;
    int sum = a^ b;
    int carry = (a&b)<<1;
    return add_no_arithm(sum,carry);
}

3.求兩數的平均數 ，不用-、*、/求兩數的平均數 

似乎是出自《程式設計師面試寶典》，但是我在第三版第12章沒找到原題。用下面的程式碼就能“神奇地”獲得兩個整型的平均值

int  average（int x，int y）
{
    return （ (x&y) + ( (x^y)>>1 ) ）;
}

4.不用*和/做除法（《演算法設計手冊》面試題1-28）

　　縱觀第2、3、4條可以發現，如果問題限制不允許使用某種四則運算子以及%，就可以在位運算上打主意了。

5.二進位制中1的個數

　　不要覺得很trick，這是K&R提到過的。值得注意的是，如果使用C實現，為了避免實現定義不同造成的結果不同，需要把該變數轉化為無符號型。

int bitcount(unsigned x)
{
    int b;
    for(b=0;x|=0;x>>=1)
        if(x&01)
            b++;
    return b;
}

　　事實上K&R習題2-9提到了一種更快的演算法：

int bitcount(unsigned x)
{
    int b;
    for(b=0;x!=0;x&= x-1)
        b++;
    return b;
}

6.從無符號型x的第p位開始，取n位（K&R）

//最低位是第0位
unsigned getbits(unsigned x,int p, int n)
{
    return (x>>(p+1-n)) & ~(~0<<n);
}

7.利用同餘的性質和位運算加速的輾轉相減求最大公約數法（《C語言參考手冊》第七章）

unsigned binary_gcd(unsigned x, unsigned y)
{
    unsigned temp;
    unsigned common_power_of_two = 0;
    if(x==0)
        return 0;
    if(y==0)
        return 0;

    /*find the largest power of two
    that divides both x and y*/
    while(((x|y)&1)==0) {
        x >>= 1;
        y >>= 1;
        ++common_power_of_two;
    }
    while((x &1) == 0)
        x >>= 1;
    while(y) {
        /*x is odd and y is nonzero here*/
        while((y&1)==0)
            y >>= 1;
        /*x and y are odd here*/
        temp = y;
        if (x>y)
            y = x - y;
        else
            y = y-x;
        x = temp;
        /*Now x has the old value of y,which is odd.
         y is even,because it is the difference of 
        two odd numbers therefore it will be right-shifted
        at least once on the next iteration.*/
    }
    return (x<<common_power_of_two);
}

8.不用大於小於號，求兩數較大值（CareerCup 19.4）

int getMax(int a,int b)
{
    int c = a - b;
    int k = (c>>31)&0x1;
    int max = a-k*c;
    return max;
}

 　　在不允許使用>、<以及任何判斷語句時，使用移位判斷一個數的正負性是常用技巧，如《深入理解計算機系統》2.3.7節習題2.42中求補碼對給定2的冪的商的解法。這個問題以及求解涉及到補碼的表示和運算的知識，在此不進行詳述，有興趣的讀者可以自行查閱。

9.實現位向量

10.其他