機器學習方法:迴歸(一):線性迴歸Linear regression
開一個機器學習方法科普系列:做基礎回顧之用,學而時習之;也拿出來與大家分享。數學水平有限,只求易懂,學習與工作夠用。週期會比較長,因為我還想寫一些其他的,呵呵。
content:
linear regression, Ridge, Lasso
Logistic Regression, Softmax
Kmeans, GMM, EM, Spectral Clustering
Dimensionality Reduction: PCA、LDA、Laplacian Eigenmap、 LLE、 Isomap(修改前面的blog)
SVM
ID3、C4.5
Apriori,FP
PageRank
minHash, LSH
Manifold Ranking,EMR
待補充
…
…
開始幾篇將詳細介紹一下線性迴歸linear regression,以及加上L1和L2的正則的變化。後面的文章將介紹邏輯迴歸logistic regression,以及Softmax regression。為什麼要先講這幾個方法呢?因為它們是機器學習/深度學習的基石(building block)之一,而且在大量教學視訊和教材中反覆被提到,所以我也記錄一下自己的理解,方便以後翻閱。這三個方法都是有監督的學習方法,線性迴歸是迴歸演算法,而邏輯迴歸和softmax本質上是分類演算法(從離散的分類目標匯出),不過有一些場合下也有混著用的——如果目標輸出值的取值範圍和logistic的輸出取值範圍一致。
ok,廢話不多說。
1、Linear Regression
可以說基本上是機器學習中最簡單的模型了,但是實際上其地位很重要(計算簡單、效果不錯,在很多其他演算法中也可以看到用LR作為一部分)。
先來看一個小例子,給一個“線性迴歸是什麼”的概念。圖來自[2]。
假設有一個房屋銷售的資料如下:
面積(m^2) 銷售價錢(萬元)
123 250
150 320
87 160
102 220
… …
當我們有很多組這樣的資料,這些就是訓練資料,我們希望學習一個模型,當新來一個面積資料時,可以自動預測出銷售價格(也就是上右圖中的綠線);這樣的模型必然有很多,其中最簡單最樸素的方法就是線性迴歸,也就是我們希望學習到一個線性模型(上右圖中的紅線)。不過說是線性迴歸,學出來的不一定是一條直線,只有在變數x是一維的時候才是直線,高維的時候是超平面。
定義一下一些符號表達,我們通常習慣用
線性迴歸的模型是這樣的,對於一個樣本
其中,
線性迴歸的目標是用預測結果儘可能地擬合目標label,用最常見的Least square作為loss function:
從下圖來直觀理解一下線性迴歸優化的目標——圖中線段距離(平方)的平均值,也就是最小化到分割面的距離和。
也就是很多中文教材中提到的最小二乘;線性迴歸是convex的目標函式,並且有解析解:
線性迴歸到這裡就訓練完成了,對每一個樣本點的預測值是
接下來看一下我們尋找到的預測值的一個幾何解釋:從上面的解析解
ok,一般介紹線性迴歸的文章到這裡也就結束了,因為實際使用中基本就是用到上面的結果,解析解計算簡單而且是最優解;當然如果求逆不好求的話就可以不用解析解,而是通過梯度下降等優化方法來求最優解,梯度下降的內容不在本篇中,後面講邏輯迴歸會說到。也可以看我前面寫的今天開始學PRML第5章中有寫到,或者直接翻閱wikipedia:gradient descent。
不過在這裡我再稍微提幾個相關的分析,可以參考ESL[3]的第3章中的內容。前面我們對資料本身的分佈是沒有任何假設的,本節下面一小段我們假設觀察值
證明:
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