綜述

最近複習了各種排序演算法，記錄了一下學習總結和心得，希望對大家能有所幫助。本文介紹了氣泡排序、插入排序、選擇排序、快速排序、歸併排序、堆排序、計數排序、桶排序、基數排序9種經典的排序演算法。針對每種排序演算法分析了演算法的主要思路，每個演算法都附上了虛擬碼和C++實現。

電梯直達

演算法分類

原地排序(in-place)：沒有使用輔助資料結構來儲存中間結果的排序**演算法。
非原地排序(not-in-place / out-of-place)：使用了輔助資料結構來儲存中間結果的排序演算法
穩定排序：數列值(key)相等的元素排序後相對順序維持不變
不穩定排序：不屬於穩定排序的排序演算法

演算法複雜度

1. 氣泡排序（Bubble Sort）

思路

不斷地遍歷數列，比較相鄰元素，每次把無序部分最大的元素放到最後，遍歷n-1次後，數列就是有序的了。

虛擬碼

BUBBLE_SORT(A, n)
    for( i from 0 to n-2) //遍歷n-1次
        for(j from 0 to n-2-i) //比較無序部分的所有相鄰元素
            if(A[j] > A[j+1]) //如果前面的元素大，放到後面去
                swap(A[i],A[j+1])
                swapped = true
 

        if(not swapped) //如果以第j個數為起點遍歷，沒有發生交換，說明後面已經有序了
            break;

最好情況

輸入數列有序，第一次遍歷結束就會完成排序，時間複雜度最好為Ω(n)

C++實現

void bubbleSort(vector<int> &arr)
{
    for(int i = 0; i < arr.size() - 1; i++)
    {
        bool swapped = false;
        for(int j = 0; j < arr.size() - 1
 
 - i; j++)
        {
            if(arr[j] > arr[j + 1])
            {
                int temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
                swapped = true;
            }
        }
        if(!swapped)
        {
            break;
        }
    }
}

2. 插入排序（Insertion Sort）

思路

把數列分為有序和無序部分，每次從無序部分拿出第一個元素，然後從後向前掃描有序部分，找到相應位置並插入，具體來說就是對於比當前元素大的元素，往後移動一位。直到找到比當前元素小的，在該元素後面插入當前元素

虛擬碼

INSERTION_SORT(A,n)
    for(i from 1 to n-1) //從1開始遍歷無序陣列
        temp = A[i] //取出當前元素
            j = i-1 
                while(j >= 0 and temp < A[j]) //比temp大的元素後移
            A[j+1] = A[j]
            j -= 1
        arr[j+1] = temp;  //temp 放入第0個或者第一個不比temp大的元素

最好情況

輸入數列有序，每次插入都是直接插在了有序部分的後面，時間複雜度最好為Ω(n)

C++實現

void insertionSort(vector<int> &arr)
{
    for(int i=1; i<arr.size(); i++)
    {
        int temp = arr[i];
        int j = i -1;
        while(j >=0 && temp < arr[j])
        {
            arr[j+1] = arr[j];
            j--;
        }
        arr[j+1] = temp;
    }
}

3. 選擇排序（Selection Sort）

思路

數列分為有序部分和無序部分，重複下列過程n次：找到無序部分中最小的數，放到有序部分的最後面（即和無序部分的第一個置換）

虛擬碼

SELECTION_SORT(A, n)
    for(i from 0 to n-2) //i指向無序部分的開頭,n-2為倒數第二個元素的索引
        for(j from i to n-1) // 找到無序部分最小的元素
            minLoc = findMin()
        swap(A[i],A[minLoc]) //最小的元素置換到i位置上（加入了有序部分）

C++實現

void selectionSort(vector<int> &arr)
{
    for(int i=0; i<arr.size()-1; i++)
    {
        int min = INT_MAX;
        int minLoc = -1;
        for(int j=i; j<arr.size(); j++)
        {
            if(arr[j] < min)
            {
                min = arr[j];
                minLoc = j;
            }
        }
        arr[minLoc] = arr[i];
        arr[i] = min;
    }
}

4. 快速排序 （Quick Sort）

思路

使用分治演算法，每次以pivot為基準將數列分成兩部分，左邊的都小於等於基準，右邊的都大於基準，然後分別遞迴地對左右兩部分進行快速排序（終止條件是元素個數為1個或者0個）。演算法的核心在於分割槽（把數列分成兩部分）
分割槽時，從數列中選擇一個元素作為pivot（一般選最後一個，翻譯為“基準”或者“哨兵”），使用兩個指標，第一個指標始終指向左邊部分的結尾（初始位置為-1），第二個指標用於遍歷數列（初始位置為0），發現小於等於pivot的就和右部分第一個數字互換（相當於把數加入了左邊部分），比pivot大的數就跳過（相當於把數加入了右邊部分）

虛擬碼

QUICK_SORT(A,head,tail) //輸入數列A，[head, tail),不包含tail
    if(tail - head > 1) //元素個數低於1個，有序，停止遞迴
        pivot = PARTITION(A,head,tail) //分割槽，獲得pivot索引
        QUICK_SORT(A,head,pivot)//遞迴
        QUICK_SORT(A,pivot+1,tail)//遞迴，pivot已經在正確的位置上了，不參與後續排序

PARTITION(A,head,tail) //分割槽,[head,tail)
    i = head - 1 //i初始化為head-1，代表著左半邊現在沒有元素
    pivot = A[tail-1] //選擇最後一個元素作為pivot
    for(j from head to tail-2) //遍歷全部元素（除了最後一個 tail-1）
        if(A[j] <= pivot)//發現小於等於pivot的元素，置換（大於的話，j就直接後移了）
            i += 1 //i此時指向了大於pivot的區的第一個元素
            swap(A[i],A[j])
    swap(A[i+1],A[tail-1]) //最後把pivot放到中間位置
    return i+1 //返回pivot

最壞情況

• 輸入的數列是有序數列，這樣每次分割槽選到的pivot都是當前最大值，每次分割槽的結果都是左邊n-1個數，右邊0個數，需要進行n-1分割槽，遞迴深度為n，時間複雜度為O(n^2)
• 輸入的數列是逆序數列，與上面的情況類似，時間複雜也也為O(n^2)

最好情況

每次分割槽的結果都是均勻的分成了左右兩部分，那麼時間複雜度就是Θ(n log(n))

C++實現

void quickSort(vector<int> &arr)
{
    quickSort(arr, 0, arr.size());
}

void quickSort(vector<int> &arr, int head, int tail)
{
    if(tail - head > 1)
    {
        int pivot = partition(arr, head, tail);
        quickSort(arr, head, pivot);
        quickSort(arr, pivot+1, tail);
    }
}


int partition(vector<int> &arr, int head, int tail)
{
    int i = head - 1;
    int pivot = arr[tail - 1];
    for(int j = head; j < tail - 1; j++)
    {
        //這裡不能用<，陣列為[3,3]這樣時，i沒有移動過，一直為-1，quickSort在右半部分永久進行遞迴[0,2)
        if(arr[j] <= pivot)
        {
            i++;
            int temp = arr[i];
            arr[i] = arr[j];
            arr[j] = temp;
        }
    }
    arr[tail - 1] = arr[i + 1];
    arr[i + 1] = pivot;
    return i + 1;
}

5. 歸併排序（Merge Sort）

思路

使用分治演算法，把數列均勻地分成左右兩部分，分別進行歸併排序（遞迴終止條件為只有一個或者0個元素），然後將左右兩個有序數列合併到一起。

虛擬碼

MERGE_SORT(A,head,tail)
    if(tail - head < 2) //元素個數小於2個就停止了
        return
    mid = (head + tail)/2 
    MERGE_SORT(A,head,mid) //左邊歸併排序
    MERGE_SORT(A,mid,tail) //右邊歸併排序
    copy A[head,mid) to B //複製A的左半部分到B，B有序
    copy A[mid,tail) to C //複製A的右半部分到C，C有序
    merge B,C to A //合併B和C兩個有序數列，將結果放在A中

C++實現

void mergeSort(vector<int> &arr)
{
    mergeSort(arr, 0, arr.size());
}

void mergeSort(vector<int> &arr, int head, int tail)
{
    if(tail - head < 2)
    {
        return;
    }
    int mid = (head + tail) / 2;
    mergeSort(arr, head, mid);
    mergeSort(arr, mid, tail);
    vector<int> left(arr.begin() + head, arr.begin() + mid);
    vector<int> right(arr.begin() + mid, arr.begin() + tail);
    int i = 0, j = 0, k = head;
    while(i < left.size() && j < right.size() && k < tail) //這裡k判斷條件是小於tail，不是arr.size()!!
    {
        if(left[i] < right[j])
        {
            arr[k++] = left[i++];
        } else
        {
            arr[k++] = right[j++];
        }
    }
    if(i == left.size())
    {
        while(j < right.size() && k < tail)
        {
            arr[k++] = right[j++];
        }
    } else if(j == right.size())
    {
        while(i < left.size() && k < tail)
        {
            arr[k++] = left[i++];
        }
    }
}

6. 堆排序（Heap Sort）

思路

構建大頂堆（降序構建小頂堆），然後交換root節點和最後一個節點，此時將堆的大小減1，並利用堆化演算法把堆重新調整為大頂堆，重複上述過程，直到大小為1，堆排序完成，因為每次都是把堆當前最大的數放到堆後面，所以數列最終變成有序了。
堆化演算法針對root的左右孩子均為大頂堆，但是root自己可能比左右孩子小的情況，演算法比較root和左右孩子，選擇最大的和root進行置換（如果root最大就不用置換了），置換後以被置換的孩子為root繼續執行堆化演算法，直到當前root比左右孩子大了或者已經是葉子節點了。

虛擬碼

//堆化演算法，左右孩子均為大頂堆，root可能比左右孩子小，違反大頂堆性質
MAX_HEAPIFY(A,i) //i是當前root的索引
    left = i*2+1
    right = i*2 + 2
    //找到左、右孩子，root中的最大值
    max = i
    if(left < heapSize and A[left] > A[i])
        max = left;
    if(right <headpSize and A[right] > A[max])
        max = right
    if(max != i) //最大值不是root節點，交換之，並繼續堆化被破壞的子堆
        swap(A[i],A[max])
        MAX_HEAPIFY(A,max)

//自底向上構建大頂堆
BUILD_MAX_HEAP(A,n)
    //從最後一個父節點開始(n-1)為最後一個元素的索引，自底向上執行堆化演算法
    for(i from ((n-1)-1)/2 to 0)
        MAX_HEAPIFY(A,i)

///堆排序演算法，不斷把root置換到堆的後面，heapSize減一併執行堆化演算法
HEAP_SORT(A,n)
    BUILD_MAX_HEAP(A,n)
    for(i from n-1 to 1)
        swap(A[i],A[0])
        heapSize -= 1
        MAX_HEAPIFY(A,0)

C++實現

void heapSort(vector<int> &arr)
{
    buildMaxHeap(arr);
    int heapSize = arr.size();
    for(int i = arr.size() - 1; i > 0; i--)
    {
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[0];
        arr[0] = temp;
        heapSize--;
        maxHeapify(arr,heapSize,0);
    }
}

void buildMaxHeap(vector<int> &arr)
{
    for(int i = ((arr.size() - 1) - 1) / 2; i >= 0; i--)
    {
        maxHeapify(arr,arr.size(),i);
    }
}

void maxHeapify(vector<int> &arr, int heapSize, int root)
{
    int left = root * 2 + 1;
    int right = root * 2 + 2;
    int max = root;
    if(left < heapSize && arr[left] > arr[max])
    {
        max = left;
    }
    if(right < heapSize && arr[right] > arr[max])
    {
        max = right;
    }
    if(max != root)
    {
        int temp = arr[max];
        arr[max] = arr[root];
        arr[root] = temp;
        maxHeapify(arr,heapSize,max);
    }
}

7. 計數排序（Counting Sort）

思路

計數排序是一種非比較排序，對數列中每個元素X，通過統計數列中小於等於X的元素個數來計算X所處的位置進行排序。使用陣列統計元素個數， counts[i]記錄的是小於等於 i 的元素個數。

虛擬碼

COUNTING_SORT(A,n)
    for(i from 0 to n-1) //計數
        counts[A[i]]++
    for(i from 1 to n-1) //累加，以便進行反向填充
        counts[i] += counts[i-1] 
    for(i from n-1 to 0) //反向填充是為了保證排序是穩定的
        B[counts[A[i]]-1] = A[i]
        counts[A[i]] -= 1
    A = B

C++實現：使用陣列計數

void countingSort(vector<int> &arr)
{
    int max = 0;
    for(int i = 0; i < arr.size(); i++)
    {
        if(arr[i] > max)
        {
            max = arr[i];
        }
    }
    vector<int> counts(max + 1, 0);
    for(int i = 0; i < arr.size(); i++)
    {
        counts[arr[i]]++;
    }
    for(int i = 1; i <= max; i++)
    {
        counts[i] += counts[i - 1];
    }
    vector<int> tempArr(arr.size(), -1);
    for(int i = arr.size() - 1; i >= 0; i--)
    {
        tempArr[counts[arr[i]] - 1] = arr[i];
        counts[arr[i]]--;
    }
    arr = move(tempArr);
}

8. 桶排序（Bucket Sort)

思路

把數列中元素的值範圍分割成多個長度相等的區間，稱為桶，把元素按值所在區間分別放到不同的桶中。然後桶內分別進行排序（比如使用插入排序），最終獲得有序數列

虛擬碼

#下面的假設值範圍為0~999,桶數目BNUM為100
INDEX_OF(j)
    return j/10 //這裡根據實際的資料情況和執行環境可以調整桶的分配方式
BUCKET_SORT(A,n)
    list B //桶們
    for(i from 0 to n-1) //分桶
        insert A[i] to B[INDEX_OF[A[i]]]
    for(i from 0 to BUMN-1) 
        INSERTION_SORT(B[i]) //分別桶內排序
    A = B[0] + B[1] + ... + B[BNUM-1] //按序連線各個桶

C++實現

#define BUCKETS_NUM 100
int indexOf(int num)
{
    return num/10;
}

void bucketSort(vector<int> &arr)
{
    vector<vector<int>> buckets(BUCKETS_NUM);
    for(int i=0; i<arr.size(); i++)
    {
        buckets[indexOf(arr[i])].push_back(arr[i]);
    }
    for(int i=0; i<BUCKETS_NUM; i++)
    {
        insertionSort(buckets[i]);
    }

    int k =0;
    for(int i=0; i<BUCKETS_NUM; i++)
    {
        for(int j=0; j<buckets[i].size(); j++)
        {
            arr[k++] = buckets[i][j];
        }
    }
}

9. 基數排序（Radix Sort）

思路

把元素按照位置分割成不同的數字，從最低位部分開始，一直到最高位部分，分別對每部分進行入桶操作，入桶時桶內元素的相對順序不變，然後將桶按順序連線起來，進行下一部分的入桶排序。對整數來說，位數較短的前面補0，下面敘述假定數列元素都是非負整數

為什麼多次入桶後數列就有序了

因為進行高位入桶時是按序入桶的，所以高位相同的數字，低位的順序仍然保留下來了。只有高位不同的數字，低位的順序才會被打亂，高位不同肯定是按照高位的順序排的，所以打亂沒有影響。
下面舉個例子說明一下。
假設待排序數列為 01, 88, 13, 78, 56, 79, 07 , 28, 76 這裡為了方便理解，位數不夠的前面已經補0了。
第一次按照最低位（個位數）入桶

桶編號	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
-	01	13	56	07	78	79
-	76	88
-	28

將桶按順序連線起來，形成新的數列01, 13, 56, 76, 07, 78, 88, 28, 79

第二次按照次最低位（十位數）入桶

桶編號	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
01	13	28	56	76	88
07	78
79

將桶按順序連線起來，得到新的數列01, 07, 13, 28, 56, 76, 78, 79, 88，排序完成

為什麼要從最低位開始

以非負整數為例，每次從最低位開始的話，每次入桶都有10個桶。如果從最高位開始的話，第一次10個桶，第二次如果還是10個桶，那麼如果低位不同，高位的相對順序就會被打亂，這顯然是錯誤的。那麼為了保證高位的順序不被打亂。就必須要在高位的桶內進行排序，即每個桶裡面要再分10個桶。第二位總共需要10*10=100個桶。以此類推n位就需要10^個桶，雖然也可以實現，但是開銷太大，所以不從最高位開始。

虛擬碼

//以對非負整數進行基數排序為例
RADIX_SORT(A,n)
    for(i from d-1 to 0) //d是數字的位數，進行d次入桶（排序）
        for(j from 0 to n-1) 
            put A[j] into B[D[A[j]]] //D[x]是x第i位的值。
        A = B[0] + B[1] + ... + B[9] //按序連線桶

C++實現

void radixSort(vector<int> &arr)
{
    vector<vector<int>> buckets(10);
    int radix = 1;
    for(int i=0; i<10; i++) //INT_MAX為10位數，所以最多進行10次入桶
    {
        for(int j = 0; j < arr.size(); j++)
        {
            buckets[(arr[j] / radix) % 10].push_back(arr[j]);
        }
        int k = 0;
        for(int i = 0; i < 10; i++)
        {
            for(int j = 0; j < buckets[i].size(); j++)
            {
                arr[k++] = buckets[i][j];
            }
            if(buckets[i].size() == arr.size())//全部在一個桶裡了，提前結束
            {
                return;
            }
            buckets[i].clear();
        }
        radix*=10;
    }
}

THE END