從斐波那契開始瞭解尾遞迴

尾遞迴（tail recursive），看名字就知道是某種形式的遞迴。簡單的說遞迴就是函式自己呼叫自己。那尾遞迴和遞迴之間的差別就只能體現在引數上了。

尾遞迴wiki解釋如下：

尾部遞迴是一種程式設計技巧。遞迴函式是指一些會在函式內呼叫自己的函式，如果在遞迴函式中，遞迴呼叫返回的結果總被直接返回，則稱為尾部遞迴。尾部遞迴的函式有助將演算法轉化成函式程式語言，而且從編譯器角度來說，亦容易優化成為普通迴圈。這是因為從電腦的基本面來說，所有的迴圈都是利用重複移跳到程式碼的開頭來實現的。如果有尾部歸遞，就只需要疊套一個堆疊，因為電腦只需要將函式的引數改變再重新呼叫

我們還是從簡單的斐波那契開始瞭解尾遞迴吧。

用普通的遞迴計算Fibonacci數列：

#include "stdio.h"
#include "math.h"

int factorial(int n);

int main(void)
{
    int i, n, rs;

    printf("請輸入斐波那契數n：");
    scanf("%d",&n);

    rs = factorial(n);
    printf
 
("%d \n", rs);

    return 0;
}

// 遞迴
int factorial(int n)
{
    if(n <= 2)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return factorial(n-1) + factorial(n-2);
    }
}

程式執行結果如下：

請輸入斐波那契數n：20
6765

Process returned 0 (0x0)   execution time : 3.502 s
Press any key to continue.

上邊的遞迴需要花費3.502s

下面我們看看如何用尾遞迴實現斐波那契數：

#include "stdio.h"
#include "math.h"

int factorial(int n);

int main(void)
{
    int i, n, rs;

    printf("請輸入斐波那契數n：");
    scanf("%d",&n);

    rs = factorial_tail(n, 1, 1);
    printf("%d ", rs);

    return 0;
}

int factorial_tail(int n,int acc1,int acc2)
{
    if (n < 2)
    {
        return acc1;
    }
    else
    {
        return factorial_tail(n-1,acc2,acc1+acc2);
    }
}

程式執行結果如下：

請輸入斐波那契數n：20
6765
Process returned 0 (0x0)   execution time : 1.460 s
Press any key to continue.

從上邊的結果可以看到尾遞迴的效率比一般遞迴的效率高很多。

我們可以列印一下程式的執行過程，函式加入下面的列印語句：

int factorial_tail(int n,int acc1,int acc2)
{
    if (n < 2)
    {
        return acc1;
    }
    else
    {
        printf("factorial_tail(%d, %d, %d) \n",n-1,acc2,acc1+acc2);
        return factorial_tail(n-1,acc2,acc1+acc2);
    }
}

程式的執行結構如下：

請輸入斐波那契數n：10
factorial_tail(9, 1, 2)
factorial_tail(8, 2, 3)
factorial_tail(7, 3, 5)
factorial_tail(6, 5, 8)
factorial_tail(5, 8, 13)
factorial_tail(4, 13, 21)
factorial_tail(3, 21, 34)
factorial_tail(2, 34, 55)
factorial_tail(1, 55, 89)
55
Process returned 0 (0x0)   execution time : 1.393 s
Press any key to continue.

從上面的除錯就可以很清晰地看出尾遞迴的計算過程了。acc1就是第n個數，而acc2就是第n與第n-1個數的和，這就是我們前面講到的“迭代”的精髓，計算結果參與到下一次的計算，從而減少很多重複計算量。

fibonacci(n-1,acc2,acc1+acc2)真是神來之筆，原本樸素的遞迴產生的棧的層次像二叉樹一樣，以指數級增長，但是現在棧的層次卻像是陣列，變成線性增長了，實在是奇妙，總結起來也很簡單，原本棧是先擴充套件開，然後邊收攏邊計算結果，現在卻變成在呼叫自身的同時通過引數來計算。

小結

尾遞迴的本質是：將單次計算的結果快取起來，傳遞給下次呼叫，相當於自動累積。

在Java等命令式語言中，尾遞迴使用非常少見，因為我們可以直接用迴圈解決。而在函式式語言中，尾遞迴卻是一種神器，要實現迴圈就靠它了。

很多人可能會有疑問，為什麼尾遞迴也是遞迴，卻不會造成棧溢位呢？因為編譯器通常都會對尾遞迴進行優化。編譯器會發現根本沒有必要儲存棧資訊了，因而會在函式尾直接清空相關的棧。

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