1.建立堆

堆：n個元素序列{k1,k2,...,ki,...,kn},當且僅當滿足下列關係時稱之為堆：

(ki <= k2i,ki <= k2i+1)或者(ki >= k2i,ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4,...,n/2)

若將和此次序列對應的一維陣列（即以一維陣列作此序列的儲存結構）看成是一個完全二叉樹，則堆的含義表明，完全二叉樹中所有非終端結點的值均不大於（或不小於）其左、右孩子結點的值。由此，若序列{k1,k2,…,kn}是堆，則堆頂元素（或完全二叉樹的根）必為序列中n個元素的最小值（或最大值）。

一般用陣列來表示堆，i結點的父結點下標就為(i–1)/2。它的左右子結點下標分別為2*i+1和2*i+2。如第0個結點的左右子結點下標分別為1和2。

從無序序列建堆的過程就是一個反覆調整的過程。若將此序列看成是一個完全二叉樹，則最後一個非終端結點是第(n-2)/2個結點，由此調整過程只需從該結點開始，直到堆頂元素。

#ifndef _HEAP_H_
#define _HEAP_H_
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<malloc.h>
#include<math.h>
#define MAXSIZE  10
typedef int DataType;

typedef struct heap
{
	DataType* arr;
	int size;
	int capacity;
}heap,*pheap;



//堆的初始化
void HeapInit(pheap hp)
{
	hp->size = 0;
	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		hp->arr[i] = rand()%10;
		hp->size++;
	}
	hp->capacity = MAXSIZE;
}


//建堆
void CreatHeap(pheap hp)
{
	int i;
	for (i = (hp->size - 2) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(hp,i);
	}
}


//向下調整（建堆）
void AdjustDown(pheap hp,int parent)
{
	assert(hp);
	//確定第一個非葉子結點的左孩子
	int lchild = 2 * parent + 1;
	while (lchild<hp->size)
	{//判斷第一個非葉子結點是否有右孩子並且比較左右孩子的大小，取小的
		if (lchild+1< hp->size&&hp->arr[lchild]>hp->arr[lchild+1])
			lchild++;
		if (hp->arr[lchild] >= hp->arr[parent])
			break;
		DataType temp = hp->arr[parent];
		hp->arr[parent] = hp->arr[lchild];
		hp->arr[lchild] = temp;
		parent = lchild;
		lchild = 2 * parent + 1;
	}
}
 

2.堆的插入

每次插入都是將先將新資料放在陣列最後，由於從這個新資料的父結點到根結點必然為一個有序的序列，現在的任務是將這個新資料插入到這個有序序列中——這就類似於直接插入排序中將一個數據併入到有序區間中。

//堆尾的插入
void HeapInsert(pheap hp, DataType data)
{
	assert(hp);
	if (hp->capacity == hp->size)
	{
		hp->arr = realloc(hp->arr, sizeof(DataType)*MAXSIZE * 2);
		hp->capacity = MAXSIZE * 2;
	}
	hp->arr[hp->size] = data;
	hp->size++;
	AdjustUp(hp);
}



//向上調整（插入）
void AdjustUp(pheap hp)
{//確定第一個非葉子結點
	int parent = (hp->size - 2) / 2;
	//確定第一個非葉子節點的左孩子
	int lchild = 2 * parent + 1;
	//一定要加上判斷條件lchild!=0;如果在只有兩個結點，且雙親結點
	//hp->arr[parent]>hp->arr[lchild]時，就會造成死迴圈。
	while (parent>=0&&lchild!=0)
	{//判斷插入結點位置
		if (lchild + 1 < hp->size)
			lchild++;
		if (hp->arr[lchild] >= hp->arr[parent])
			break;
		DataType temp = hp->arr[parent];
		hp->arr[parent] = hp->arr[lchild];
		hp->arr[lchild] = temp;
		lchild = parent;
		parent = (lchild - 1) / 2;
	}
}
 

3.堆頂的刪除

堆中每次都只能刪除堆頂元素。為了便於重建堆，實際的操作是將最後一個數據的值賦給根結點，然後再從根結點開始進行一次從上向下的調整。調整時先在左右子結點中找最小的，如果父結點比這個最小的子結點還小說明不需要調整了，反之將父結點和它交換後再考慮後面的結點。相當於根結點資料的“下沉”過程。

//堆頂的刪除
void Heapdel(pheap hp)
{
	assert(hp);
	if (!hp->size)
		return;
	DataType temp = hp->arr[0];
	hp->arr[0] = hp->arr[hp->size - 1];
	hp->arr[hp->size - 1] = temp;
	hp->size--;
	AdjustDown(hp,0);
}

void AdjustDown(pheap hp,int parent)
{
	assert(hp);
	//確定第一個非葉子結點的左孩子
	int lchild = 2 * parent + 1;
	while (lchild<hp->size)
	{//判斷第一個非葉子結點是否有右孩子並且比較左右孩子的大小，取小的
		if (lchild+1< hp->size&&hp->arr[lchild]>hp->arr[lchild+1])
			lchild++;
		if (hp->arr[lchild] >= hp->arr[parent])
			break;
		DataType temp = hp->arr[parent];
		hp->arr[parent] = hp->arr[lchild];
		hp->arr[lchild] = temp;
		parent = lchild;
		lchild = 2 * parent + 1;
	}
}

4.堆排序

若在輸出堆頂的最小值之後，使得剩餘n-1個元素的序列重建一個堆，則得到n個元素中的次小值。如此反覆執行，便能得到一個有序序列，這個過程稱之為堆排序。

輸出堆頂元素之後，以堆中最後一個元素替代之，此時根結點的左右子樹均為堆，則僅需進行一次從上到下的調整即可重建一個堆。

 堆排序演算法。
 形參heap為大頂堆時，實現的是由小到大；
 形參heap為小頂堆時，實現的是由大到小；
 
void HeapSort(pheap hp)
{
	int i;
	int temp;
	int num = hp->size;
	while (hp->size > 1)
	{
		for (i = hp->size - 1; i > 0; i--)
		{//交換堆頂元素
			temp = hp->arr[0];
			hp->arr[0] = hp->arr[i];
			hp->arr[i] = temp;
        //改變堆調整的資料個數
			hp->size--;
			AdjustDown(hp, 0);
		}
	}
     printf("堆排序：");
	for (int i = 0; i < num; i++)
	{
		printf("%d ", hp->arr[i]);
	}
}

5.堆測試

int main()
{
	pheap hp;
	hp = (pheap)malloc(sizeof(heap));
	if (!hp)
		return NULL;
	hp->arr= (DataType*)malloc(sizeof(DataType) * MAXSIZE);
	if (!hp->arr)
		return NULL;
	//用陣列來初始化堆
	HeapInit(hp);
	printf("用陣列來初始化堆:");
	//列印陣列
	for (int i = 0; i < hp->size; i++)
	{
		printf("%d ", hp->arr[i]);
	}
	printf("\n");
	//建立小頂堆並列印
	CreatHeap(hp);
	printf("建立小頂堆:");
	for (int i = 0; i < hp->size; i++)
	{
		printf("%d ", hp->arr[i]);
	}
	printf("\n");
	//堆插入資料 3
	HeapInsert(hp, 3);
	printf("堆插入資料 3:");
	for (int i = 0; i < hp->size; i++)
	{
		printf("%d ", hp->arr[i]);
	}
	printf("\n");
	//堆頂的刪除
	Heapdel(hp);
	printf("堆頂的刪除:");
	for (int i = 0; i < hp->size; i++)
	{
		printf("%d ", hp->arr[i]);
	}
	printf("\n");
	//堆排序
	HeapSort(hp);
	printf("\n");
	system("pause");
	return 0;
}

6.測試截圖