小朋友學資料結構（1）：約瑟夫環的連結串列解法、陣列解法和數學公式解法
約瑟夫環（Josephus）問題是由古羅馬的史學家約瑟夫（Josephus）提出的，他參加並記錄了公元66—70年猶太人反抗羅馬的起義。約瑟夫作為一個將軍，設法守住了裘達伯特城達47天之久，在城市淪陷之後，他和40名死硬的將士在附近的一個洞穴中避難。在那裡，這些叛亂者表決說“要投降毋寧死”。於是，約瑟夫建議每個人輪流殺死他旁邊的人，而這個順序是由抽籤決定的。約瑟夫有預謀地抓到了最後一簽，並且，作為洞穴中的兩個倖存者之一，他說服了他原先的犧牲品一起投降了羅馬。
約瑟夫環問題的具體描述是：設有編號為1，2，……，n的n(n>0)個人圍成一個圈，從第1個人開始報數，報到m時停止報數，報m的人出圈，再從他的下一個人起重新報數，報到m時停止報數，報m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈為止。當任意給定n和m後，設計演算法求n個人出圈的次序。
解法一：用迴圈連結串列實現
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct node
{
int data;
struct node *next;
}Node;
/**
* @功能 約瑟夫環
* @引數 total:總人數
* @引數 from:第一個報數的人
* @引數 count:出列者喊到的數
* @作者 zheng
* @更新 2013-12-5
*/
void JOSEPHUS(int total, int from, int count)
{
Node *p1 執行結果：
13 1 3
Delete number: 3
Delete number: 6
Delete number: 9
Delete number: 12
Delete number: 2
Delete number: 7
Delete number: 11
Delete number: 4
Delete number: 10
Delete number: 5
Delete number: 1
Delete number: 8
The last one is No.13解法二：陣列實現
思路：設陣列a有n個變數，每個變數中初始放的標識數是1，表示這個人在佇列裡，若出列標識數就變為0。
現在計數器從1開始向後數，每報一個數即把累加器加1。這裡累加器表示報數人數。累列到m時，報數的人要出列，標識數要變為0。下一個人從1開始重新報數。
報到最後一個人後，從第一個人開始繼續報數。
#include<stdio.h>
#include<memory.h>
int main()
{
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
int flag[n + 1]; // 在佇列裡標記為1，出列標記為0
memset(flag, 0, sizeof(flag)); //把陣列每個元素置0，在memory.h中宣告
int i = 0;
int outCnt = 0; // 記錄出列的人數
int numoff = 0; // 報數
// 預設都標記為1
for(i = 1; i <= n; i++)
{
flag[i] = 1;
}
while(outCnt < n - 1)
{
for(i = 1; i <= n; i++ )
{
if (1 == flag[i])
{
numoff++;
if(numoff == m)
{
printf("Dequeue：%d\n", i);
outCnt++;
flag[i] = 0; // 已出列的人標記為0
numoff = 0; // 從頭開始報數
}
}
}
}
for(i = 1; i <= n; i++)
{
if(1 == flag[i])
{
printf("The last one is: %d\n", i);
}
}
return 0;
}執行結果：
13 3
Dequeue：3
Dequeue：6
Dequeue：9
Dequeue：12
Dequeue：2
Dequeue：7
Dequeue：11
Dequeue：4
Dequeue：10
Dequeue：5
Dequeue：1
Dequeue：8
The last one is: 13解法三：用數學公式求解
上面編寫的解約瑟夫環的程式模擬了整個報數的過程，因為N和M都比較小，程式執行時間還可以接受，很快就可以出計算結果。可是，當參與的總人數N及出列值M非常大時，其運算速度就慢下來。例如，當N的值有上百萬，M的值為幾萬時，到最後雖然只剩2個人，也需要迴圈幾萬次（由M的數量決定）才能確定2個人中下一個出列的序號。顯然，在這個程式的執行過程中，很多步驟都是進行重複無用的迴圈。
那麼，能不能設計出更有效率的程式呢？
辦法當然有。其中，在約瑟夫環中，只是需要求出最後的一個出列者最初的序號，而不必要去模擬整個報數的過程。因此，為了追求效率，可以考慮從數學角度進行推算，找出規律然後再編寫程式即可。
為了討論方便，先根據原意將問題用數學語言進行描述。
問題：將編號為0～（N–1）這N個人進行圓形排列，按順時針從0開始報數，報到M–1的人退出圓形佇列，剩下的人繼續從0開始報數，不斷重複。求最後出列者最初在圓形佇列中的編號。
下面首先列出0~(N-1)這N個人的原始編號如下：
0 1 2 3 … N-3 N-2 N-1
根據前面曾經推導的過程可知，第一個出列人的編號一定是(M–1)%N。例如，在13個人中，若報到3的人出列，則第一個出列人的編號一定是(3–1)%13=2，注意這裡的編號是從0開始的，因此編號2實際對應以1為起點中的編號3。根據前面的描述，m的前一個元素(M–1)已經出列，則出列1人後的列表如下：
0 1 2 3 … M-3 M-2 ○ M M+1 M+2 … N-3 N-2 N-1
注意，上面的圓圈表示被刪除的數。
根據規則，當有人出列之後，下一個位置的人又從0開始報數，則以上列表可調整為以下形式（即以M位置開始，N–1之後再接上0、1、2……，形成環狀）：
M M+1 M+2 … N-2 N-1 0 1 … M-3 M-2
按上面排列的順序從0開始重新編號，可得到下面的對應關係：
M M+1 M+2 … N-2 N-1 0 1 … M-3 M-2
0 1 2 … N-(M+2) N-(M+1) N-M N-(M-1) … N-3 N-2
這裡，假設上一行的數為x，下一行的數為y，則對應關係為:
y = (x - M + N) % N 公式【1】或者
x = (y + M) % N 公式【2】通過上表的轉換，將出列1人後的資料重新組織成了0～（N–2）共N–1個人的列表，繼續求N–1個參與人員，按報數到M–1即出列，求解最後一個出列者最初在圓形佇列中的編號。
看出什麼規律沒有？通過一次處理，將問題的規模縮小了。即對於N個人報數的問題，可以分解為先求解（N–1）個人報數的子問題；而對於（N–1）個人報數的子問題，又可分解為先求[(N-1)-1]個人報數的子問題，……。
問題中的規模最小時是什麼情況？就是隻有1個人時（N=1），報數到（M–1）的人出列，這時最後出列的是誰？當然只有編號為0這個人。因此，可設有以下函式：
F(1) = 0那麼，當N=2，報數到（M–1）的人出列，最後出列的人是誰？應該是隻有一個人報數時得到的最後出列的序號加上M，因為報到M-1的人已出列，只有2個人，則另一個出列的就是最後出列者，利用公式【2】，可表示為以下形式：
F(2) = [F(1) + M] % N = [F(1) + M] % 2比如，N=2, M=3時，有F(2) = [F(1) + M]%N = (0 + 3)%2 = 1
根據上面的推導過程，可以很容易推匯出，當N=3時的公式：
F(3) = [F(2) + M] % N = [F(2) + M] % 3於是，咱們可以得到遞推公式：
F(1) = 0
F(N) = [F(N - 1) + M] % N (N>1)有了此遞推公式，可使用遞迴方法來設計程式：
#include <iostream>
using namespace std;
int josephus(int n, int m)
{
if(1 == n)
{
return 0;
}
return (josephus(n - 1, m) + m) % n;
}
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
cout << "最後出列的人的編號為（從0開始編號）：" << josephus(n, m) << endl;
return 0;
}執行結果：
13 3
最後出列的人的編號為（從0開始編號）：12使用遞迴函式會佔用計算機較多的記憶體，當遞迴層次太深時可能導致程式不能執行，比如64層的漢諾塔需要計算很長的時間。
因此，這裡可以將程式直接編寫為以下的遞推形式：
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
int out = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
out = (out + m) % i;
}
cout << "最後出列的人的編號為（從0開始編號）：" << out << endl;
return 0;
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