環排列

把一個m個元素的環在m個不同的位置拆開記得到m個不同的線排列。由於n個不同元素中任取m個元素的排列方法為P(n,m)種，所以n個不同元素中任取m個元素的環排列方法有P(n,m)/m種。

特別的，n個不同元素的環排列方法有P(n,n)/n=(n-1)！種。

permutation

排列（Arrangement），簡單講是從N個不同元素中取出M個，按照一定順序排成一列，通常用A(M,N)表示。當M=N時，稱為全排列（Permutation）。從數學角度講，全排列的個數A(N,N)=(N)*(N-1)*...*2*1=N!，但從程式設計角度，如何獲取所有排列？那麼就必須按照某種順序逐個獲得下一個排列，通常按照升序順序（字典序）

例如對於一個集合A={1,2,3,}，首先獲取全排列a1: 1,2,3,；然後獲取下一個排列a2: 1,3,2,；按此順序，A的全排列如下：

a1: 1,2,3;　　a2: 1,3,2;　　a3: 2,1,3;　　a4: 2,3,1;　　a5: 3,1,2;　　a6: 3,2,1;　　共6種。

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母函式

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算術基本定理（唯一分解定理）

一句話：
　　　　
任何大於１的自然數，都可以唯一分解成有限個質數的乘積

例如對於大於1的自然數n，

這裡Pi

均為質數，其指數ai

是正整數。
這樣的分解稱為的標準分解式

唯一分解定理具有：
　①唯一性（分配方式的唯一性）
　②存在性　　　　

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容斥原理

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抽屜原理

桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜裡，無論怎樣放，我們會發現至少會有一個抽屜裡面至少放兩個蘋果。這一現象就是我們所說的“抽屜原理”。 抽屜原理的一般含義為：“如果每個抽屜代表一個集合，每一個蘋果就可以代表一個元素，假如有n+1個元素放到n個集合中去，其中必定有一個集合裡至少有兩個元素。” 抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理。它是組合數學中一個重要的原理．

原理1： 把多於n+1個的物體放到n個抽屜裡，則至少有一個抽屜裡的東西不少於兩件。

相對：把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m—1）個物體。

整除問題：

 證明：任取8個自然數，必有兩個數的差是7的倍數。

其實問是否有兩個數差是7的倍數，實際上就是，是否兩個數他們在mod 7的剩餘系中代表同一個數

因為mod 7的剩餘系只有7個數，所以，根據鴿巢原理，證明成立

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卡特蘭數

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斯特林公式

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黙慈金數

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那羅延數

N(n,k) = 1/n * C(n,k) * C(n,k-1)

在由n對"("和")"組成的字串中，共有k對"("與")"相鄰，這樣的字串一共有N(n,k)個。例如n=4,k=2時，N(n,k)=6

性質：

那羅延三角中每一行的和為卡特蘭數，即
N(n,1) + N(n,2) + N(n,3) + ... + N(n,n) = Catalan(n)

由下面的例子可以證明上面的公式。考慮從(0,0)到(2n,0),只有(1,1)和(-1，-1)兩種移動方式，且要求運動軌跡不能低於x軸，一共有多少種情況。