2014年第五屆藍橋杯C/C++程式設計本科B組決賽 出棧次序(結果填空)
2014年第五屆藍橋杯C/C++程式設計本科B組決賽題目彙總：
出棧次序
X星球特別講究秩序，所有道路都是單行線。一個甲殼蟲車隊，共16輛車，按照編號先後發車，夾在其它車流中，緩緩前行。路邊有個死衚衕，只能容一輛車通過，是臨時的檢查站，如圖【p1.png】所示。
X星球太死板，要求每輛路過的車必須進入檢查站，也可能不檢查就放行，也可能仔細檢查。
如果車輛進入檢查站和離開的次序可以任意交錯。那麼，該車隊再次上路後，可能的次序有多少種？
為了方便起見，假設檢查站可容納任意數量的汽車。
顯然，如果車隊只有1輛車，可能次序1種；2輛車可能次序2種；3輛車可能次序5種。
現在足足有16輛車啊，親！需要你計算出可能次序的數目。
題意：求n個元素的出棧情況有多少種。
思路：
方法一：
我們把n個元素的出棧個數的記為f(n), 那麼對於1,2,3, 我們很容易得出：
f(1)= 1 //即 1
f(2)= 2 //即 12、21
f(3)= 5 //即 123、132、213、321、231
然後我們來考慮f(4), 我們給4個元素編號為a,b,c,d, 那麼考慮：元素a只可能出現在1號位置，2號位置，3號位置和4號位置(很容易理解，一共就4個位置，比如abcd,元素a就在1號位置)。
分析：
1) 如果元素a在1號位置，那麼只可能a進棧，馬上出棧，此時還剩元素b、c、d等待操作，就是子問題f(3)；
2) 如果元素a在2號位置，那麼一定有一個元素比a先出棧，即有f(1)種可能順序（只能是b），還剩c、d，即f(2)， 根據乘法原理，一共的順序個數為f(1)* f(2)；
3) 如果元素a在3號位置，那麼一定有兩個元素比1先出棧，即有f(2)種可能順序（只能是b、c），還剩d，即f(1)，
根據乘法原理，一共的順序個數為f(2) * f(1)；
4) 如果元素a在4號位置，那麼一定是a先進棧，最後出棧，那麼元素b、c、d的出棧順序即是此小問題的解，即 f(3)；
結合所有情況，即f(4) = f(3) +f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);
為了規整化，我們定義f(0) = 1；於是f(4)可以重新寫為：
f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1)+ f(3)*f(0)
然後我們推廣到n，推廣思路和n=4時完全一樣，於是我們可以得到：
f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... +f(n-1)*f(0)
即
方法二：Catalan數：C(2n,n)/(n+1) （C(2n,n)表示2n裡取n）或者C(2n,n)-C(2n,n-1)都可以解決。
答案：35357670
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
int main()
{
int f[20];
memset(f,0,sizeof(f));
f[0]=1;
f[1]=1;
f[2]=2;
f[3]=5;
for(int i=4; i<=16; i++)
{
for(int j=0; j<=i-1; j++)
f[i]+=f[j]*f[i-1-j];
}
cout<<f[16]<<endl;
return 0;
}