ST演算法詳解+例題 O（1）查詢區間最大最小值
RMQ問題
RMQ (Range Minimum/Maximum Query)問題是指：對於長度為n的數列A，回答若干詢問RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回數列A中下標在i,j裡的最小(大）值，也就是說，RMQ問題是指求區間最值的問題。
主要方法及複雜度如下：
1、樸素（即搜尋），O(n)-O(qn) online。
2、線段樹，O(n)-O(qlogn) online。
3、ST（實質是動態規劃），O(nlogn)-O(q) online。
ST演算法（Sparse Table），以求最大值為例，設d[i,j]表示[i,i+2^j-1]這個區間內的最大值，那麼在詢問到[a,b]區間的最大值時答案就是max(d[a,k], d[b-2^k+1,k])，其中k是滿足2^k<=b-a+1(即長度)的最大的k,即k=[ln(b-a+1)/ln(2)]。
d的求法可以用動態規劃，d[i, j]=max(d[i, j-1],d[i+2^(j-1), j-1])。
4、RMQ標準演算法：先規約成LCA（Lowest Common Ancestor），再規約成約束RMQ，O(n)-O(q) online。
首先根據原數列，建立笛卡爾樹，從而將問題線上性時間內規約為LCA問題。LCA問題可以線上性時間內規約為約束RMQ，也就是數列中任意兩個相鄰的數的差都是+1或-1的RMQ問題。約束RMQ有O(n)-O(1)的線上解法，故整個演算法的時間複雜度為O(n)-O(1)。 - 度娘
ST演算法
適用範圍
今天學習的是RMQ的ST演算法，先說明一下它的適用範圍：
複雜度是O（nlogn）的建表和O（1）的查詢，並且不適用於更新。
如果更新的話就用線段樹了，因為ST是直接建表了。
ps.(1 << k ) = 2^k
初始化
以最大值為例，最小值的初始化過程相同。
首先設A是要求區間最值的數列，f[i, j]，表示從第i個數起連續 ( 1 << j )個數起連續數中的最大值。
比如來個數列：
1 2 3 5 7 9 2 10 3 4
f[1, 0]表示從第1個數起，長度為(1<<0) = 1位數範圍的最大值，為1；
f[1, 2]表示從第1個數起，長度為(1<<2) = 4位數範圍的最大值，為5；
f[2, 0]…為2；
f[2, 2]…為3；
可以發現，f[i, 0] = A[i]。
接下來是狀態轉移方程：
將f[i, j]分成兩段，從 i 到 i+(1<<(j - 1))-1為一段，i + (1<<(j-1))到 i + (1 << j) - 1為一段，求解這段的最大值就行了。
狀態轉移方程：
f[ i, j ] = max( f[ i ][ j - 1 ] , f[ i + (1<<(j - 1)) ] [j - 1] )
狀態轉移方程表示的意義：
數列A中，以第i個數開頭，總共(1 << j)位的連續子集的最大值，為以i開頭共(1<<(j-1))位的連續子集 和 以i+(1<<(j-1))開頭共(1<<(j-1))位的連續子集中的最大值。
初始化程式碼:
void queryInit()
{
////////////////////////////
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
minPoint[i][0 查詢
假設要查詢lo到hi這一段區間的最大值，先需要求出一個最大的k，使得k滿足：(1 << k ) <= (n - m + 1)。
這樣就可以把[lo, hi]這個區間分成兩個（有部分重疊）長度為(1 << k)位的兩個區間：[lo, lo + (1 << k)-1], [ hi - (1 << k)+1, hi]。
由於之前已經求出這倆部分的最大值，所以只需要O（1）的時間直接返回就行了。
程式碼：
int queryMin(int l, int r)
{
int k = log2((double)(r - l + 1));
return Min(minPoint[l][k], minPoint[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int queryMax(int l, int r)
{
int k = log2((double)(r - l + 1));
return Max(maxPoint[l][k], maxPoint[r - (1 << k) + 1][k]);
}例題
poj 3368
題意
給n（10^5）個數組成單調不減數列，然後有q（10^5）個詢問。
每次詢問給一個區間[fr，to]，求區間內出現頻率最多的數字出現了幾次。
解析
首先先構建被st演算法查詢的數列，由於是詢問區間內出現頻率最多的數字的個數，並且陣列單調不減，可以得知相同的數必定是連續出現的，所以可以直接統計一個cnt的陣列，來記錄連續的值出現了幾次。
所以在查詢的時候，就要先把前一段的干擾剔除，然後再把剔除的干擾記回來，樣例的第一次詢問就能夠體現出來了。
程式碼
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <climits>
#include <cassert>
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define LL long long
#define lson lo, mi, rt << 1
#define rson mi + 1, hi, rt << 1 | 1
using namespace std;
const int maxn = 100000 + 10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const double ee = exp(1.0);
int n, q;
int num[maxn];
int cnt[maxn];
int minPoint[maxn][20];
int maxPoint[maxn][20];
void queryInit()
{
////////////////////////////
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
minPoint[i][0] = maxPoint[i][0] = cnt[i];
}
////////////////////////////
for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
{
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
{
int p = (1 << (j - 1));
minPoint[i][j] = Min(minPoint[i][j - 1], minPoint[i + p][j - 1]);
maxPoint[i][j] = Max(maxPoint[i][j - 1], maxPoint[i + p][j - 1]);
}
}
}
int queryMin(int l, int r)
{
int k = log2((double)(r - l + 1));
return Min(minPoint[l][k], minPoint[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int queryMax(int l, int r)
{
int k = log2((double)(r - l + 1));
return Max(maxPoint[l][k], maxPoint[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif // LOCAL
while (~scanf("%d", &n) && n)
{
scanf("%d", &q);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%d", &num[i]);
if (i == 1)
{
cnt[i] = 1;
continue;
}
if (num[i] == num[i - 1])
{
cnt[i] = cnt[i - 1] + 1;
}
else
{
cnt[i] = 1;
}
}
// for (int i = 1; i <= n; i++)
// cout << cnt[i] << " ";
// cout << endl << "-----------" << endl;
queryInit();
while (q--)
{
int fr, to;
scanf("%d%d", &fr, &to);
//排除前一段的干擾
int now = fr;
while (now <= to && num[now] == num[now - 1])
now++;
//若now > to，代表整段都等
int ans = 0;
if (now <= to)
ans = queryMax(now, to);
//將前一段記回來
ans = Max(ans, now - fr);
printf("%d\n", ans);
}
}
return 0;
}
poj 3264
題意
給n個數，然後k個區間，求區間[lo, hi]，之間最大值與最小值的差。
程式碼
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <climits>
#include <cassert>
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define LL long long
#define lson lo, mi, rt << 1
#define rson mi + 1, hi, rt << 1 | 1
using namespace std;
const int maxn = 100000 + 10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const double ee = exp(1.0);
int n, k;
int num[maxn];
int minPoint[maxn][20];
int maxPoint[maxn][20];
void queryInit()
{
////////////////////////////
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
minPoint[i][0] = maxPoint[i][0] = num[i];
}
////////////////////////////
for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
{
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
{
int p = (1 << (j - 1));
minPoint[i][j] = Min(minPoint[i][j - 1], minPoint[i + p][j - 1]);
maxPoint[i][j] = Max(maxPoint[i][j - 1], maxPoint[i + p][j - 1]);
}
}
}
int queryMin(int l, int r)
{
int k = log2((double)(r - l + 1));
return Min(minPoint[l][k], minPoint[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int queryMax(int l, int r)
{
int k = log2((double)(r - l + 1));
return Max(maxPoint[l][k], maxPoint[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif // LOCAL
while (~scanf("%d%d", &n, &k))
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%d", &num[i]);
}
queryInit();
while (k--)
{
int fr, to;
scanf("%d%d", &fr, &to);
printf("%d\n", queryMax(fr, to) - queryMin(fr, to));
}
}
return 0;
}
還有之前多校第一場那道也是可以用ST演算法的。
早晨學ST學到一半的時候停電了- -坑爹啊。