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方差公式中分子為什麼是n-1的證明

方差的無偏估計中分子為什麼是n-1的證明

剛接觸方差公式,大家肯定會感覺到疑問,為什麼公式的分子上是n1而不是n呢。當分子為n1的時候稱為樣本關於總體的無偏估計,分子為n的稱為有偏估計,原因是我們希望通過樣本的方差S2來估計總體的方差,所以問題就出現在這裡,樣本的方差方差。

已知:
樣本均值 X¯¯¯
樣本方差 S2
總體均值 μ
總體方差 σ2

在計算樣本方差的時候,我們通常按下面的公式計算

S2=1ni=1n(XiX¯¯¯)2
上式僅僅是樣本的方差,我們往往希望估計總體的方差,這個時候就要對上式進行處理:
E(S2)=E(1ni=1n(XiX¯¯¯)2
)
=1nE(i=1n((Xiμ)+(μX¯¯¯))2)=1nE(i=1n((Xiμ)2+(μX¯¯¯)2+2(Xiμ)(μX¯¯¯)))=1nE((i=1n(Xiμ)2+i=1n(μX¯¯¯)2+2i=1n(Xiμ)(μX¯¯¯)))=1nE((i=1n(Xiμ)2+n(μX¯¯¯)2+2n(X¯¯¯μ)(μX¯¯¯)))=1nE((i=1n(Xiμ)2+n(μX¯¯¯)22n(μ

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