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向量範數+不同範數之間的關係

近期公式證明時候遇到向量範數的運算性質,略作整理:

向量範數

Def. 設VΩ上的線性空間,αV , ||α||:VR+, 滿足

  • 非負性
  • 齊次性
    ||kα||=|k|||α||,kΩ
  • 三角不等式
    ||α+β||||α||+||β||,α,βV
    則稱||α||為向量α的範數.

proof:||α+β||||α||+||β||,α,βV

(||α||+||β||)2=||α||2+||β||2+2||α||||β||

||α+β||2=||α||2+||β|

|2+2<αβ>

Cn中常用範數,X=(x1,x2,,xn)TCn

  • L1範數:ni=1|xi|

  • L2範數:ni=1|xi|2

  • L範數:maxi=1,2,,n|xi|

幾種範數的幾何意義:

X=(x1,x2)T,且||X||=1,對應L1L2LLp範數的圖形分別為

幾何意義

常用範數之間的關係

  • 1n||X||1||X||||X||1

proof :