邏輯迴歸(Logistic Regression, LR)是傳統機器學習中的一種分類模型，由於演算法的簡單和高效，在實際中應用非常廣泛。它的起源非常複雜，可以看參考引用1。具體應用實踐可以看這裡。

問題背景

對於二元分類問題，給定一個輸入特徵向量X$X$(例如輸入一張圖片，通過演算法識別它是否是一隻貓的圖片)，演算法能夠輸出預測，稱之為y^$\hat{y}$，也就是對實際值y$y$的估計。或者說，y^$\hat{y}$表示y$y$等於1的一種可能性或是置信度(前提條件是給定了輸入特徵X$X$)。

如果代入帶線性迴歸的模型中y^=wTx$\hat{y}=w^{T}x$：

假設輸入X$X$為腫瘤大小，上圖表示y$y$值大於0.5時演算法預測為惡性腫瘤，小於0.5時預測為良性腫瘤。看上去好像沒有什麼問題，但是在

LR模型

Sigmoid函式

所以對應條件概率分佈(二分類)P(Y|X)$P(Y|X)$為

引數求解

那麼我們該如何求救裡面的引數w$w$呢？常用的方法有梯度下降法,牛頓法和BFGS擬牛頓法。

梯度下降法

梯度下降(Gradient Descent)又叫作最速梯度下降，是一種迭代求解的方法，通過在每一步選取使目標函式變化最快的一個方向調整引數的值來逼近最優值。基本步驟如下：

1. 選擇下降方向（梯度方向，∇J(θ)$\nabla J(\theta )$）
2. 選擇步長，更新引數θi=θi−1−αi∇J(θi−
   1)${\theta }_i={\theta }_{i-1}-{\alpha }_i\nabla J({\theta }_{i-1})$
3. 重複以上兩步直到滿足終止條件
   
   我們首先定義一下損失函式Loss Function，如果我們使用常用的平方損失函式：
   L(y^,y)=12(y^−y)2$$L(\hat{y},y)=\frac{1}{2}(\hat{y}-y{)}^2$$
   得到的函式影象如下左圖，非凸函式有許多區域性最小值，將會影響梯度下降尋找全域性最小值。
   
   所以我們定義Lost Function為
   L(y^,y)=−(ylogy^+(1−y)log(1−y^))$$L(\hat{y},y)=-(ylog\hat{y}+(1-y)log(1-\hat{y}))$$
   Cost Function J$J$ (衡量演算法在全部樣本上的表現) 為：
   J=1m∑i=1m(y^(i),y(i))=
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