【洛谷11月月賽T3】【P4996】咕咕咕(組合數)
阿新 • • 發佈:2018-12-30
遲到的題解 昨天亂翻的時候感覺這道題挺有意思的
一眼看過去狀態壓縮亂搜
轉移方程大概是 設f[i]表示從0轉移到i的遺憾值之和 f[i]=sigma(f[j])+val[i]*dis[i] dis[i]=sigma(dis[j]) 其中j是i的子集,dis[i]表示從0轉移到i的方案數之和
妙啊有70分了
// luogu-judger-enable-o2 // luogu-judger-enable-o2 #include<bits/stdc++.h> #define N 20 #define mod 998244353 #define ll long long using namespace std; int n,m; ll val[1<<(N+1)],dp[1<<(N+1)],dis[1<<(N+1)]; char s[N+5]; inline ll dfs(int state) { if(state==0) return val[state]; if(dp[state]!=-1) return dp[state]; dp[state]=0; for(int i=state&(state-1);i;i=(i-1)&state) { dp[state]=(dp[state]+dfs(i))%mod; dis[state]=(dis[state]+dis[i])%mod; } dp[state]=(dp[state]+dfs(0))%mod; //因為上面運算元集沒有算到0 dis[state]=(dis[state]+dis[0])%mod; dp[state]=(dp[state]+val[state]*dis[state]%mod)%mod; return dp[state]; } int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%s",s+1); ll sum=0; for(int j=1;j<=n;j++) if(s[j]=='1') sum+=(1<<(n-j)); cin>>val[sum]; } int max_state=(1<<n)-1; dis[0]=1; memset(dp,-1,sizeof(dp)); dfs(max_state); cout<<dp[max_state]; return 0; }
然而正解是組合數
分析上面的過程你會發現:要是能夠快速的算出從0到當前狀態的方案數就好了
然後又發現和具體的狀態沒有什麼關係 之和0,1的個數有關係
記f[i]表示i個1的方案數 先預處理出來
顯然f[i]可以從子集j轉移過來 可以用到組合數的思想 即sigma(c(i,j)*f[j])
然後對於每個可能帶來歉意的狀態 根據一個乘法原理 相當於先把這n個0變為i個1 再把i個1變為n個1
#include<bits/stdc++.h> #define N 25 #define mod 998244353 #define ll long long using namespace std; int n,m; ll ans,c[N+5][N+5],f[N]; char s[N]; void init() { for(int i=0;i<=N;i++) c[i][0]=1,c[i][i]=1; for(int i=1;i<=N;i++) { for(int j=1;j<=i;j++) { c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod; } } f[1]=1,f[0]=1; for(int i=2;i<=20;i++) for(int j=0;j<i;j++) f[i]=(f[i]+c[i][j]*f[j]%mod)%mod; } int main() { cin>>n>>m; init(); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%s",s+1); ll cnt=0; for(int j=1;j<=n;j++) if(s[j]=='1') cnt++; ll x; cin>>x; ans=(ans+x*f[cnt]%mod*f[n-cnt]%mod)%mod; } cout<<ans; return 0; }