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線性基 Codeforces724G Xor-matic Number of the Graph

題意:1e5個點的無向圖,求三元環(u,v,s),u<v,滿足u經過路徑到達v,把路徑上經過的邊的值求異或和等於s。三元環的價值為s。現在求所有三元環的總價值之和。

思路:可能有很多個連通塊,對每個連通塊考慮。

首先,我們考慮,如果這個連通塊只是一棵樹的話。我們對每一位去考慮,直接通過計數就能得到答案。

但是現在圖上還有很多環,我們可以發現,環的答案可以直接異或到鏈上去,我只要走到環上,再繞環一圈,再走回來,就能恰好只異或了環上的值。

所以我們求出所有的環,對環求一遍線性基。

之後的做法,我們前面說的樹相當於現在的DFS搜尋樹,直接對這個樹去討論計數,只要認真討論一下,答案非常簡單就能推匯出來的.

#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <functional>
#define fuck(x) cout<<"["<<x<<"]";
#define FIN freopen("input.txt","r",stdin);
#define FOUT freopen("output.txt","w+",stdout);
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;

const int MX = 5e5 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;

struct Edge {
    LL val;
    int v, nxt;
} E[MX];
int Head[MX], erear;
void edge_init() {
    erear = 0;
    memset(Head, -1, sizeof(Head));
}
void edge_add(int u, int v, LL val) {
    E[erear].v = v;
    E[erear].val = val;
    E[erear].nxt = Head[u];
    Head[u] = erear++;
}

int n, m, sz, r;
LL A[MX], P[62], dis[MX];
vector<int> path;

LL power(LL a, LL b) {
    LL ret = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ret = ret * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

void DFS(int u, LL s) {
    if(dis[u] == -1) {
        dis[u] = s;
    } else {
        A[++sz] = dis[u] ^ s;
        return;
    }
    path.push_back(u);
    for(int i = Head[u]; ~i; i = E[i].nxt) {
        int v = E[i].v;
        DFS(v, s ^ E[i].val);
    }
}

void Guass_base() {
    memset(P, 0, sizeof(P));
    for(int i = 1; i <= sz; i++) {
        for(int j = 62; j >= 0; j--) {
            if(!(A[i] >> j & 1)) continue;
            if(!P[j]) {
                P[j] = A[i]; break;
            }
            A[i] ^= P[j];
        }
    }
    r = 0;
    for(int i = 62; i >= 0; i--) {
        if(P[i]) r++;
    }
}

LL solve() {
    Guass_base();
    LL ans = 0;
    for(int i = 62; i >= 0; i--) {
        int cnt[2] = {0}, sign = 0;
        for(int j = 62; j >= 0; j--) {
            if(P[j] >> i & 1) sign = 1;
        }
        for(int j = 0; j < path.size(); j++) {
            int u = path[j];
            if(sign) ans += power(2, i + r - 1) * j % mod;
            else ans += power(2, i + r) * cnt[!(dis[u] >> i & 1)] % mod;
            ans %= mod;
            cnt[dis[u] >> i & 1]++;
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    // FIN;
    edge_init();
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(dis, -1, sizeof(dis));
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v; LL val;
        scanf("%d%d%I64d", &u, &v, &val);
        edge_add(u, v, val);
        edge_add(v, u, val);
    }

    LL ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(dis[i] == -1) {
            path.clear(); sz = 0;
            DFS(i, 0);
            ans += solve();
            ans %= mod;
        }
    }
    printf("%I64d\n", ans);
    return 0;
}