圖 | 兩種遍歷方式:深度優先搜尋(DFS、深搜)和廣度優先搜尋(BFS、廣搜)
前邊介紹了有關圖的 4 種儲存方式,本節介紹如何對儲存的圖中的頂點進行遍歷。常用的遍歷方式有兩種:
深度優先搜尋
和廣度優先搜尋
。
深度優先搜尋(簡稱“深搜”或DFS)
深度優先搜尋的過程類似於樹的先序遍歷,首先從例子中體會深度優先搜尋。例如圖 1 是一個無向圖,採用深度優先演算法遍歷這個圖的過程為:
- 首先任意找一個未被遍歷過的頂點,例如從 V1 開始,由於 V1 率先訪問過了,所以,需要標記 V1 的狀態為訪問過;
- 然後遍歷 V1 的鄰接點,例如訪問 V2 ,並做標記,然後訪問 V2 的鄰接點,例如 V4 (做標記),然後 V8 ,然後 V5 ;
- 當繼續遍歷 V5 的鄰接點時,根據之前做的標記顯示,所有鄰接點都被訪問過了。此時,從 V5 回退到 V8 ,看 V8 是否有未被訪問過的鄰接點,如果沒有,繼續回退到 V4 , V2 , V1 ;
- 通過檢視 V1 ,找到一個未被訪問過的頂點 V3 ,繼續遍歷,然後訪問 V3 鄰接點 V6 ,然後 V7 ;
- 由於 V7 沒有未被訪問的鄰接點,所有回退到 V6 ,繼續回退至 V3 ,最後到達 V1 ,發現沒有未被訪問的;
- 最後一步需要判斷是否所有頂點都被訪問,如果還有沒被訪問的,以未被訪問的頂點為第一個頂點,繼續依照上邊的方式進行遍歷。
根據上邊的過程,可以得到圖 1 通過深度優先搜尋獲得的頂點的遍歷次序為:V1 -> V2 -> V4 -> V8 -> V5 -> V3 -> V6 -> V7
所謂深度優先搜尋,是從圖中的一個頂點出發,每次遍歷當前訪問頂點的鄰接點,一直到訪問的頂點沒有未被訪問過的鄰接點為止。然後採用依次回退的方式,檢視來的路上每一個頂點是否有其它未被訪問的鄰接點。訪問完成後,判斷圖中的頂點是否已經全部遍歷完成,如果沒有,以未訪問的頂點為起始點,重複上述過程。
深度優先搜尋是一個不斷回溯的過程
。
採用深度優先搜尋演算法遍歷圖的實現程式碼為(鄰接矩陣+無向圖(有向圖也是如此)):
#include <stdio.h>
#define MAX_VERtEX_NUM 20 //頂點的最大個數
#define VRType int //表示頂點之間的關係的變數型別
#define InfoType char //儲存弧或者邊額外資訊的指標變數型別
#define VertexType int //圖中頂點的資料型別
typedef enum{false,true}bool; //定義bool型常量
bool visited[MAX_VERtEX_NUM]; //設定全域性陣列,記錄標記頂點是否被訪問過
typedef struct {
VRType adj; //對於無權圖,用 1 或 0 表示是否相鄰;對於帶權圖,直接為權值。
InfoType * info; //弧或邊額外含有的資訊指標
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];
typedef struct {
VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM]; //儲存圖中頂點資料
AdjMatrix arcs; //二維陣列,記錄頂點之間的關係
int vexnum,arcnum; //記錄圖的頂點數和弧(邊)數
}MGraph;
//根據頂點本身資料,判斷出頂點在二維陣列中的位置
int LocateVex(MGraph * G,VertexType v){
int i=0;
//遍歷一維陣列,找到變數v
for (; i<G->vexnum; i++) {
if (G->vexs[i]==v) {
break;
}
}
//如果找不到,輸出提示語句,返回-1
if (i>G->vexnum) {
printf("no such vertex.\n");
return -1;
}
return i;
}
//構造無向圖
void CreateDN(MGraph *G){
scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
scanf("%d",&(G->vexs[i]));
}
for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
G->arcs[i][j].adj=0;
G->arcs[i][j].info=NULL;
}
}
for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
int v1,v2;
scanf("%d,%d",&v1,&v2);
int n=LocateVex(G, v1);
int m=LocateVex(G, v2);
if (m==-1 ||n==-1) {
printf("no this vertex\n");
return;
}
G->arcs[n][m].adj=1;
G->arcs[m][n].adj=1;//無向圖的二階矩陣沿主對角線對稱
}
}
int FirstAdjVex(MGraph G,int v)
{
//查詢與陣列下標為v的頂點之間有邊的頂點,返回它在陣列中的下標
for(int i = 0; i<G.vexnum; i++){
if( G.arcs[v][i].adj ){
return i;
}
}
return -1;
}
int NextAdjVex(MGraph G,int v,int w)
{
//從前一個訪問位置w的下一個位置開始,查詢之間有邊的頂點
for(int i = w+1; i<G.vexnum; i++){
if(G.arcs[v][i].adj){
return i;
}
}
return -1;
}
void visitVex(MGraph G, int v){
printf("%d ",G.vexs[v]);
}
void DFS(MGraph G,int v){
visited[v] = true;//標記為true
visitVex( G, v); //訪問第v 個頂點
//從該頂點的第一個邊開始,一直到最後一個邊,對處於邊另一端的頂點呼叫DFS函式
for(int w = FirstAdjVex(G,v); w>=0; w = NextAdjVex(G,v,w)){
//如果該頂點的標記位false,證明未被訪問,呼叫深度優先搜尋函式
if(!visited[w]){
DFS(G,w);
}
}
}
//深度優先搜尋
void DFSTraverse(MGraph G){//
int v;
//將用做標記的visit陣列初始化為false
for( v = 0; v < G.vexnum; ++v){
visited[v] = false;
}
//對於每個標記為false的頂點呼叫深度優先搜尋函式
for( v = 0; v < G.vexnum; v++){
//如果該頂點的標記位為false,則呼叫深度優先搜尋函式
if(!visited[v]){
DFS( G, v);
}
}
}
int main() {
MGraph G;//建立一個圖的變數
CreateDN(&G);//初始化圖
DFSTraverse(G);//深度優先搜尋圖
return 0;
}
以圖 1 為例,執行結果為:
8,9
1
2
3
4
5
6
7
8
1,2
2,4
2,5
4,8
5,8
1,3
3,6
6,7
7,3
1 2 4 8 5 3 6 7
廣度優先搜尋
廣度優先搜尋
類似於樹的層次遍歷。從圖中的某一頂點出發,遍歷每一個頂點時,依次遍歷其所有的鄰接點,然後再從這些鄰接點出發,同樣依次訪問它們的鄰接點。按照此過程,直到圖中所有被訪問過的頂點的鄰接點都被訪問到。
最後還需要做的操作就是檢視圖中是否存在尚未被訪問的頂點,若有,則以該頂點為起始點,重複上述遍歷的過程。
還拿圖 1 中的無向圖為例:
- 假設 V1 作為起始點,遍歷其所有的鄰接點 V2 和 V3;
- 然後以 V2 為起始點,訪問鄰接點 V4 和 V5 ;
- 然後以 V3 為起始點,訪問鄰接點 V6 、 V7 ;
- 然後以 V4 為起始點訪問 V8 ;
- 然後以 V5 為起始點,由於 V5 所有的起始點已經全部被訪問,所有直接略過;
- 然後V6 和 V7 也是如此。
- 最後,以 V1 為起始點的遍歷過程結束後,還需判斷圖中是否還有未被訪問的點,由於圖 1 中沒有了,所以整個圖遍歷結束。如果還有沒被訪問的,以未被訪問的頂點為第一個頂點,繼續依照上邊的方式進行遍歷。
根據上邊的過程,可以得到圖 1 通過廣度優先搜尋獲得的頂點的遍歷次序為:V1 -> V2 -> v3 -> V4 -> V5 -> V6 -> V7 -> V8
廣度優先搜尋的實現需要藉助佇列
這一特殊資料結構,實現程式碼為(鄰接矩陣+無向圖(有向圖也是如此))::
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VERtEX_NUM 20 //頂點的最大個數
#define VRType int //表示頂點之間的關係的變數型別
#define InfoType char //儲存弧或者邊額外資訊的指標變數型別
#define VertexType int //圖中頂點的資料型別
typedef enum{false,true}bool; //定義bool型常量
bool visited[MAX_VERtEX_NUM]; //設定全域性陣列,記錄標記頂點是否被訪問過
typedef struct Queue{
VertexType data;
struct Queue * next;
}Queue;
typedef struct {
VRType adj; //對於無權圖,用 1 或 0 表示是否相鄰;對於帶權圖,直接為權值。
InfoType * info; //弧或邊額外含有的資訊指標
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];
typedef struct {
VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM]; //儲存圖中頂點資料
AdjMatrix arcs; //二維陣列,記錄頂點之間的關係
int vexnum,arcnum; //記錄圖的頂點數和弧(邊)數
}MGraph;
//根據頂點本身資料,判斷出頂點在二維陣列中的位置
int LocateVex(MGraph * G,VertexType v){
int i=0;
//遍歷一維陣列,找到變數v
for (; i<G->vexnum; i++) {
if (G->vexs[i]==v) {
break;
}
}
//如果找不到,輸出提示語句,返回-1
if (i>G->vexnum) {
printf("no such vertex.\n");
return -1;
}
return i;
}
//構造無向圖
void CreateDN(MGraph *G){
scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
scanf("%d",&(G->vexs[i]));
}
for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
G->arcs[i][j].adj=0;
G->arcs[i][j].info=NULL;
}
}
for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
int v1,v2;
scanf("%d,%d",&v1,&v2);
int n=LocateVex(G, v1);
int m=LocateVex(G, v2);
if (m==-1 ||n==-1) {
printf("no this vertex\n");
return;
}
G->arcs[n][m].adj=1;
G->arcs[m][n].adj=1;//無向圖的二階矩陣沿主對角線對稱
}
}
int FirstAdjVex(MGraph G,int v)
{
//查詢與陣列下標為v的頂點之間有邊的頂點,返回它在陣列中的下標
for(int i = 0; i<G.vexnum; i++){
if( G.arcs[v][i].adj ){
return i;
}
}
return -1;
}
int NextAdjVex(MGraph G,int v,int w)
{
//從前一個訪問位置w的下一個位置開始,查詢之間有邊的頂點
for(int i = w+1; i<G.vexnum; i++){
if(G.arcs[v][i].adj){
return i;
}
}
return -1;
}
//操作頂點的函式
void visitVex(MGraph G, int v){
printf("%d ",G.vexs[v]);
}
//初始化佇列
void InitQueue(Queue ** Q){
(*Q)=(Queue*)malloc(sizeof(Queue));
(*Q)->next=NULL;
}
//頂點元素v進佇列
void EnQueue(Queue **Q,VertexType v){
Queue * element=(Queue*)malloc(sizeof(Queue));
element->data=v;
Queue * temp=(*Q);
while (temp->next!=NULL) {
temp=temp->next;
}
temp->next=element;
}
//隊頭元素出佇列
void DeQueue(Queue **Q,int *u){
(*u)=(*Q)->next->data;
(*Q)->next=(*Q)->next->next;
}
//判斷佇列是否為空
bool QueueEmpty(Queue *Q){
if (Q->next==NULL) {
return true;
}
return false;
}
//廣度優先搜尋
void BFSTraverse(MGraph G){//
int v;
//將用做標記的visit陣列初始化為false
for( v = 0; v < G.vexnum; ++v){
visited[v] = false;
}
//對於每個標記為false的頂點呼叫深度優先搜尋函式
Queue * Q;
InitQueue(&Q);
for( v = 0; v < G.vexnum; v++){
if(!visited[v]){
visited[v]=true;
visitVex(G, v);
EnQueue(&Q, G.vexs[v]);
while (!QueueEmpty(Q)) {
int u;
DeQueue(&Q, &u);
u=LocateVex(&G, u);
for (int w=FirstAdjVex(G, u); w>=0; w=NextAdjVex(G, u, w)) {
if (!visited[w]) {
visited[w]=true;
visitVex(G, w);
EnQueue(&Q, G.vexs[w]);
}
}
}
}
}
}
int main() {
MGraph G;//建立一個圖的變數
CreateDN(&G);//初始化圖
BFSTraverse(G);//廣度優先搜尋圖
return 0;
}
例如,使用上述程式程式碼遍歷圖 1 中的無向圖,執行結果為:
8,9
1
2
3
4
5
6
7
8
1,2
2,4
2,5
4,8
5,8
1,3
3,6
6,7
7,3
1 2 3 4 5 6 7 8
總結
本節介紹了兩種遍歷圖的方式:深度優先搜尋演算法和廣度優先搜尋演算法。深度優先搜尋
演算法的實現運用的主要是回溯法
,類似於樹的先序遍歷演算法。廣度優先搜尋
演算法藉助佇列的先進先出
的特點,類似於樹的層次遍歷。