已知一個函式rand7()能夠生成1-7的隨機數，請給出一個函式rand10()，該函式能夠生成1-10的隨機數。
阿新 • • 發佈：2018-12-27
題目：
已知一個函式rand7()能夠生成1-7的隨機數，請給出一個函式，該函式能夠生成1-10的隨機數。
思路：
假如已知一個函式能夠生成1-49的隨機數，那麼如何以此生成1-10的隨機數呢？
解法：
該解法基於一種叫做拒絕取樣的方法。主要思想是隻要產生一個目標範圍內的隨機數，則直接返回。如果產生的隨機數不在目標範圍內，則丟棄該值，重新取樣。由於目標範圍內的數字被選中的概率相等，這樣一個均勻的分佈生成了。
顯然rand7至少需要執行2次，否則產生不了1-10的數字。通過執行rand7兩次，可以生成1-49的整數，
1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 8 9 10 1 2 3 4由於49不是10的倍數，所以我們需要丟棄一些值，我們想要的數字範圍為1-40，不在此範圍則丟棄並重新取樣。3 5 6 7 8 9 10 1 4 2 3 4 5 6 7 8 5 9 10 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10 * * 7 * * * * * * *
程式碼：
- int rand10() {
- int row, col, idx;
- do {
- row = rand7();
- col = rand7();
- idx = col + (row-1)*7;
- } while (idx > 40);
- return 1 + (idx-1)%10;
- }
由於row範圍為1-7，col範圍為1-7，這樣idx值範圍為1-49。大於40的值被丟棄，這樣剩下1-40範圍內的數字，通過取模返回。下面計算一下得到一個滿足1-40範圍的數需要進行取樣的次數的期望值：
E(# calls to rand7) = 2 * (40/49) + 4 * (9/49) * (40/49) + 6 * (9/49)2 * (40/49) + ... ∞ = ∑優化：2k * (9/49)k-1 * (40/49) k=1 = (80/49) / (1 - 9/49)2 = 2.45
上面的方法大概需要2.45次呼叫rand7函式才能得到1個1-10範圍的數，下面可以進行再度優化。
對於大於40的數，我們不必馬上丟棄，可以對41-49的數減去40可得到1-9的隨機數，而rand7可生成1-7的隨機數，這樣可以生成1-63的隨機數。對於1-60我們可以直接返回，而61-63則丟棄，這樣需要丟棄的數只有3個，相比前面的9個，效率有所提高。而對於61-63的數，減去60後為1-3，rand7產生1-7，這樣可以再度利用產生1-21的數，對於1-20我們則直接返回，對於21則丟棄。這時，丟棄的數就只有1個了，優化又進一步。當然這裡面對rand7的呼叫次數也是增加了的。程式碼如下：
- int rand10Imp() {
- int a, b, idx;
- while (true) {
- a = rand7();
- b = rand7();
- idx = b + (a-1)*7;
- if (idx <= 40)
- return 1 + (idx-1)%10;
- a = idx-40;
- b = rand7();
- // get uniform dist from 1 - 63
- idx = b + (a-1)*7;
- if (idx <= 60)
- return 1 + (idx-1)%10;
- a = idx-60;
- b = rand7();
- // get uniform dist from 1-21
- idx = b + (a-1)*7;
- if (idx <= 20)
- return 1 + (idx-1)%10;
- }
- }
E(# calls to rand7) = 2 * (40/49) + 3 * (9/49) * (60/63) + 4 * (9/49) * (3/63) * (20/21) + (9/49) * (3/63) * (1/21) * [ 6 * (40/49) + 7 * (9/49) * (60/63) + 8 * (9/49) * (3/63) * (20/21) ] + ((9/49) * (3/63) * (1/21))2 * [ 10 * (40/49) + 11 * (9/49) * (60/63) + 12 * (9/49) * (3/63) * (20/21) ] + ... = 2.2123這裡期望次數為2.21，比起未優化的2.45次減少了大概10%。