揹包問題是很經典的動態規劃問題，變種問題也很多，最基本的問題是01揹包問題

問題描述：

有n 個物品，它們有各自的體積和價值，現有給定容量的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？

分析：

01揹包問題可以看做是物品的序列，其中x_i=[0,1]，表示第i個物品放或者不放。狀態轉移矩陣是一個二維矩陣，其中行表示物品，列表示揹包容量。和之前講最長公共子序列一樣，考慮揹包裝完後最優的時候，那麼拿出最後一件後將揹包容量縮小還是最優的。

狀態轉移公式有如下性質

1. 初始狀態i=0 j=0，表示揹包容量為0，沒有物品，此時價值是0

2. 放入的時候有兩種條件：

    (1) 當w(i)>j，此時放不進去物品i，價值V(i,j)=V(i-1,j)

    (2) 當w(i)<=j，此時能放進物品i，但不一定放進去能達到最優

         之所以放進去也不一定最優，因為上面矩陣儲存的都是當前狀態最優的時候，剛能放進去的時候表示的是隻有物品i的時候能放進去j中，但是拿出來了之前放的所有的東西，不一定就是最優了，所以有兩個分支。不放進去就是i-1時的狀態，放進去了要找i-1的時候揹包空間是j-w(i)，再放i的時候正好揹包滿了這時候最優，看兩者哪個更大。

實現

w=[2,3,4,5]
v=[3,4,5,6]
bag=8
c=[[0 for i in range(bag+1)] for j in range(len(w)+1)]

for i in range(1,len(w)+1):
    for j in range(1,bag+1):
        if w[i-1]>j:  #放不下i，不放
            c[i][j]=c[i-1][j]
        else:   #放得下i，但放入不一定最優
            c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
print(c[len(w)][bag])
 

 觀察之前的狀態轉移方程和上面的程式碼，可以發現每一次更新狀態V[i][j]的時候只用到了V[I-1]這一層，所以狀態轉移矩陣可以精簡為一個一維陣列，在更新V[i][j]的時候此時陣列的狀態是V[i-1]。但是我們要從後往前更新陣列，因為用到了V[i-1]。

b=[0 for i in range(bag+1)]
for i in range(len(w)):
    for j in range(bag+1)[::-1]:
        if w[i]<=j:
            b[j]=max(b[j],b[j-w[i]]+v[i])
print(b)

如果我們想獲得裝了哪些物品那麼只能用二維矩陣回溯，回溯的過程是：

從右下角開始，如果V[i][j]==V[i-1][j]，說明物品i沒有放，回溯到V[i-1][j]

如果不等於，說明物品i放了，回溯到V[i-1][j-w(i)]

參考