【BZOJ3994】[SDOI2015] 約數個數和(莫比烏斯反演)
大致題意: 設d(x)為x的約數個數,求∑i=1N∑j=1Md(i⋅j)。
莫比烏斯反演
這是一道莫比烏斯反演題。
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一個重要的性質
首先我們要先了解d(i⋅j)這個函式的性質:
d(i,j)=x∣i∑y∣j∑[gcd(x,y)==1]
證明: 我也不知道,應該就是列舉i和j的約數,求出其中不互質的約數對個數,避免重複計算。
一些定義
按照莫比烏斯反演的常見套路,我們可以定義f(d)和F(n)如下:
f(d)=i=1∑Nj=1∑M[gcd(i,j)==d]
F(n)=n∣d∑f(d)
然後由莫比烏斯反演的某些性質,我們可以得到下面這個式子:
f(n)=n∣d∑μ(⌊nd⌋)F(d)
公式化簡
首先,題目中已經給出:
answer=i=1∑Nj=1∑Md(i⋅j)
由於上面提到的性質,我們可以得到:
answer=i=1∑Nj=1∑Mx∣i∑y∣j∑[gcd(x,y)==1]
根據莫比烏斯函式μ的性質:∑d∣nμ(d)=[n==1],所以,我們可以將μ代入,將原式變成這個樣子:
answer=i=1∑Nj=1∑Mx∣i∑y∣j∑d∣gcd(x,y)∑μ(d)
由於這個式子難以操作,因此,我們可以將原式略作修改,改成對d進行列舉,變成這個樣子:
answer=i=1∑Nj=1∑Mx∣i∑y∣j∑d=1∑min(n,m)μ(d)∗[d∣gcd(x,y)]
不難發現,μ(d)的值是與i,j,x,y無關的,因此可以將其單獨提出,就變成了這樣:
answer=d=1∑min(n,m)μ(d)i=1∑Nj=1∑Mx∣i∑y∣j∑[d∣gcd(x,y)]
然後,我們可以從列舉i,j及其約數x,y,轉變為直接列舉約數x,y,然後將其貢獻乘上約數倍數的個數(這應該還是比較好理解的),於是就有了下面這個式子:
answer=d=1∑min(n,m)μ(d)x=1∑Ny=1∑M[d∣gcd(x,y)]⌊xN⌋⌊yM⌋
考慮由d∣gcd(x,y)可以得到d∣x且d∣y,即x和y是d的倍數所以我們就可以通過直接列舉d的倍數d⋅x和d⋅y來取代列舉x,y,從而消去d∣gcd(x,y)這個限制: answer=d=1∑min(n,m)μ(d)x=1∑⌊dN⌋y=1∑⌊dM⌋⌊d⋅xN⌋⌊d⋅yM⌋
最後,我們可以將原式稍作變動,得到下面這個式子:
answer=(
點此看題面
大致題意: 設d(x)d(x)d(x)為xxx的約數個數,求∑i=1N∑j=1Md(i⋅j)\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Md(i·j)∑i=1N∑j=1Md(i⋅j)。 預處理 www oid com int pen init main 個性 傳送門
公式太長了……我就直接抄一下這位大佬好了……實在懶得打了
首先據說$d(ij)$有個性質$$d(ij)=\sum_{x|i}\ put name 一行 AI algorithm scan space 代碼 print www.cnblogs.com/shaokele/
bzoj3994: [SDOI2015]約數個數和
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設d(x)為x的約數個數,給定N、M,求
Input
輸入檔案包含多組測試資料。
第一行,一個整數T,表示測試資料的組數。
接下來的T行,每行兩個整數N、M。
Ou div blog mic names include sin 題意 方案 ace 【CF900D】Unusual Sequences
題意:定義正整數序列$a_1,a_2...a_n$是合法的,當且僅當$gcd(a_1,a_2...a_n)=x$且$a_1+a_2+...
題意
設d(x)d(x)d(x)為xxx的約數個數,求∑i=1n∑j=1md(ij)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)∑i=1n∑j=1md(ij)。
題解
首先有個 重復 min put clas 題解 iostream fine har clu 【HDU1695】GCD(莫比烏斯反演)
題面
題目大意
求\(a<=x<=b,c<=y<=d\)
且\(gcd(x,y)=k\)的無序數對的個數
其中,你可以假定\( stream bre 似的 string 獲得 計算 getc ans contain 【Luogu3455】【POI2007】ZAP-Queries(莫比烏斯反演)
題面
題目描述
FGD正在破解一段密碼,他需要回答很多類似的問題:對於給定的整數a,b和d,有多少正整數對 namespace ... ++ bre getchar stream 那種 getc 分解質 【BZOJ3309】DZY Loves Math(莫比烏斯反演)
題面
求
\[\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^bf(gcd(a,b))\]
其中,\(f(x)\) spa 題解 cal ace 整除 span 統計 fin 個數 【BZOJ2671】Calc
題面
BZOJ
給出N,統計滿足下面條件的數對(a,b)的個數:
1.\(1\le a\lt b\le N\)
2.\(a+b\)整除\(a*b\)
我竟然粘了題面!!!
題解
GCD Time Limit: 6000/3000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 16412 Accepted Submission(s): 6314
Pro
Problem Description題目連結
Today XianYu is too busy with his homework, but the boring GuGu is still disturbing him!!!!!!
At the brea
題面
Description
對於給出的n個詢問,每次求有多少個數對(x,y),滿足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函式為x和y的最大公約數。
Input
第一行一個整數n,接下來n行每行五個整數,分別表示a、 ace using 復雜度 amp nebula names ons 問題 sin 【題意】給定a和b,求滿足a<=lcm(x,y)<=b && x<y的數對(x,y)個數。a,b<=10^11。
【算法】莫比烏斯反演+組合計數
【題 esp mar 復雜度 時間 莫比烏斯反演 freopen str namespace int 題目大意
定義復數\(a+bi\)為整數\(k\)的約數,當且僅當\(a\)和\(b\)為整數且存在整數\(c\)和\(d\)滿足\((a+bi)(c+di)=k\)。
Time:2016.05.27
Author:xiaoyimi
轉載註明出處謝謝
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思路:
∑di=c∑bj=a[gcd(i,j)=k]
=∑di=1∑bj=1[gcd(i,j) 計算 algo cto ref blog image get txt += http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2301
題意:對於給出的n個詢問,每次求有多少個數對(x,y),滿足a≤x≤b,c&l cnblogs -s def problems 前綴和 ret mage () eof http://www.spoj.com/problems/PGCD/en/
題意:
給出a,b區間,求該區間內滿足gcd(x,y)=質數的個數。
思路:
設f(n)為 gc 技術分享 滿足 urn spa isp name 角速度 我們 組成 莫比烏斯反演也是反演定理的一種
既然我們已經學了二項式反演定理
那莫比烏斯反演定理與二項式反演定理一樣,不求甚解,只求會用
莫比烏斯反演長下面這個樣子(=?ω?=)
d|n,表示 轉化 com -m line sqrt spa 輸出 格子 但是 Crash的數字表格
Description
今天的數學課上,Crash小朋友學習了最小公倍數(Least Common Multiple)。對於兩個正整數a和b,LCM(a, b)表示能同時被a和b整除的最 相關推薦
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