I. 對映(Mapping)

1. 單射(Injective)

函式f 是單射當且僅當若f(x) = f(y) 則 x = y。

例子： f(x) = x+5 從實數集\(R\)到\(R\)是個單射函式。

這個函式很容易被還原：f(3) = 8，即 已知 8 可以返回 3

2. 滿射(Surjective)

函式 f（從集 A 到集 B）是滿射當且僅當在 B 中的每個 y 存在至少一個在 A 中的 x 滿足 f(x) = y， 就是說， f 是滿射當且僅當 f(A) = B。

值域裡的每個元素都至少有一個定義域元素與之對應。

例子：函式 f(x) = 2x 從自然數集\(N\)

但 f(x) = 2x 從自然數集\(N\)到\(N\)不是滿射，因為沒有一個自然數\(N\)可以被這個函式對映到 3。

3. 雙射(Bijective)

函式 f（從 A 集到 B 集）是雙射，若每個 B 中的 y 都有唯一的一個（而沒有另外一個） A 集中的 x 滿足 f(x) = y

或者說：當單射和滿射都成立時，f 是雙射。

例子： 函式 \(f(x) = x^2\) 從正實數到正實數是單射，也是滿射，所以它是雙射。

但從實數集\(R\)就不是，因為f(2)=4，並且f(-2)=4

II. 同態&同構

對於向量空間\(V,W\)

基於上面已經介紹了的對映的概念，我們現在可以更好地直觀理解同態和同構的定義，它們分別如下：

• \(\Phi:V→W \,\,\, linear\): 同態 (Homomorphism)
  • \(\Phi:V→W \,\,\, linear \,\, and \,\, injective\)
    : 單一同態 (Monomorphism)
  • \(\Phi:V→W \,\,\, linear \,\, and \,\, surjective\): 滿同態 (Surjective Homomorphism)
  • \(\Phi:V→W \,\,\, linear \,\, and \,\, bijective\): 同構 (Isomorphism)
• \(\Phi:V→V \,\,\, linear\): 自同態 (Endomorphism)
  • \(\Phi:V→V \,\,\, linear \,\, and \,\, injective\): 單一自同態 (Monomorphic Endomorphism)
  • \(\Phi:V→V \,\,\, linear \,\, and \,\, surjective\): 滿自同態 (Surjective Endomorphism)
  • \(\Phi:V→V \,\,\, linear \,\, and \,\, bijective\): 自同構 (Automorphism)

定理:兩個維度是有限的向量空間\(V,W\),當且僅當二者的維度相同,即\(dim(V)=dim(W)\)，\(V,W\)二者同構。

假設現在有三個向量空間分別為\(V,W,X\),那麼它們有如下性質：

• 如果有線性對映\(\Phi:V→W\)和\(\Psi:W→X\),那麼對映\(\Phi◦\Psi:V→X\)也是線性對映；
• 如果\(\Phi:V→W\)是同構(isomorphsim),那麼\(\Phi^{-1}:V→W\)也是同構；
• 如果\(\Phi:V→W,\Psi:V→W\)都是線性對映，那麼\(\Psi+\Phi\)和\(\lambda\Phi,\lambda∈R\)也都是線性的。

1. 線性對映的矩陣表示

座標(Coordinates) 的定義：

假設向量空間\(V\)的順序基(ordered bases)為\(B=(b_1,...,b_n)\)，那麼\(V\)中任意一個向量\(x\)可由順序基線性組合表示,即
\(x=α_1b_1+...+α_nb_n\)\(。此時向量\)\(\alpha=[α_1,...,α_n]^{T}∈R^n\)則是\(x\)在向量空間\(V\)上以\(B\)為基的座標。

變換矩陣(Transform Matrix) 的定義:

假設向量空間\(V∈R^n,W∈R^m\)的順序基分別為\(B=(b_1,...,b_n),C=(c_1,...,c_m)\)。對於對映\(\Psi:V→W\)，有
\[\Phi(b_j)=α_{1j}c_1+...+α_{mj}c_m=\sum_{i=1}^mα_{ij}c_i\]
則我們稱\(A_{\Phi}(i,j)=α_{ij}\)為對映\(\Phi\)的變換矩陣。

所以向量空間\(V\)中的座標向量\(x\)與\(W\)中的座標向量\(y\)有如下變換關係:\(y=A_{\Phi}x\)

2. 基變換(Basis Change)

定義:

假設向量空間\(V\)的順序基有兩個，分別是\(B=(b_1,...,b_n),\tilde{B}=(\tilde{b_1},...,\tilde{b_n})\)，向量空間\(W\)也有兩個順序基，分別為\(C=(c_1,...,c_n),\tilde{C}=(\tilde{c_1},...,\tilde{c_n})\)。\(A_{\Phi}\)是對映\(\Phi:V→W\)關於順序基\(B,C\)的變換矩陣,\(\tilde{A_{\Phi}}\)是對映\(\Phi:V→W\)關於順序基\(\tilde{B},\tilde{C}\)的變換矩陣,兩個變換矩陣的關係如下:
\[\tilde{A_{\Phi}}$=T^{-1}A_{\Phi}S\]
其中\(S∈R^{n×n}\)表示向量空間\(V\)從基\(\tilde{B}\)到基\(B\)的恆等對映\(id_V\)的變換矩陣,\(T∈R^{m×m}\)表示向量空間\(W\)基於基\(\tilde{C}\)到基\(C\)的恆等對映\(id_W\)的變換矩陣,

3. 核(kernel)與象(Image)

先看定義:

• 核(Kernel/null space):

  假設有對映\(\Phi:V→W\),核(kernel)為：
  \[ker(\Phi)=\Phi^{-1}(0_w)=\{v∈V:\Phi(v)=0_w\}\]

什麼意思呢？就是說經過對映後,\(V\)中的一些值被對映到\(W\)的零點(如下圖示)，而\(V\)這些值組成的集合(即左邊橘黃色部分)就稱為kernel。

• 象(Image/Range)

\[Im(\Phi)=\Phi(V)=\{w∈W|\exists v∈V:\Phi(v)=w\}\]

怎麼理解象呢？就是說整個向量空間\(V\)在經過對映後在向量空間\(W\)上得到的集合，也就是右邊黃色部分。

為方便理解，可以把kenel粗略地理解成定義域，Image理解成值域。

另外需要注意的有如下推論:

• 始終有\(\Phi(0_V)=0_W\)，即\(0_V∈ker(\Phi)\)
• \(Im(\Phi),Ker(\Phi)\)分別是\(W,V\)的子空間
• 當且僅當\(Ker(\Phi)=\{0\}\)時，\(\Phi\)是單射。

Rank-Nullity Theorem(秩-零定理):對於對映\(\Phi:V→W\)始終滿足如下等式:
\[dim(Ker(\Phi))+dim(Im(\Phi))=dim(V)\]

如果用matrix來說的話，假設A是一個n*n的matrix，則:\(rank(A)+nullity(A)=n\)
再通俗點說就是對A進行初等變換後得到的echelon form（行階梯形式），不為0的行數加上全部為0的行數等於這個矩陣的行數。當然因為一般的matrix的row rank和column rank相等，所以變成column echelon form之後用列來計數也是一樣的。

III. 仿射空間(Affine Spaces)

前面提到的對映都是經過零點的，下面介紹的仿射空間是偏離原點的空間。

1. 仿射子空間(Affine Subspaces)

定義:

假設\(V\)為向量空間，\(x_0∈V\), \(U\subseteq{V}\)為子空間，則子集
\[ \begin{align} L&=x_0+U=\{x_0+u: u∈U\} \notag \\ &=\{v∈V|\exists{u∈U}:v=x_0+u\}\subseteq{V} \notag \end{align} \]
稱為向量空間\(V\)的 仿射子空間(affine subspace) 或 linear manifold。\(U\)稱為Direction (Space),\(x_0\)稱為support point

2. 仿射對映(Affine Mappings)

參考資料

• 同態與同構
• 數學樂-單射、滿射和雙射
• 知乎-jz wang: 線性代數的一些名詞概念很模糊？