約瑟夫環問題的兩種解法(詳解)【轉】
題目:
Josephus有過的故事:39 個猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個洞中,39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓。於是決定了自殺方式,41個人排成一個圓圈,由第1個人開始報數,每報數到第3人該人就必須自殺。然後下一個重新報數,直到所有人都自殺身亡為止。然而Josephus 和他的朋友並不想遵從,Josephus要他的朋友先假裝遵從,他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置,於是逃過了這場死亡遊戲。
對於這個題目大概兩種解法:
一、使用迴圈連結串列模擬全過程
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#include<iostream>
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using namespace std;
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/************約瑟夫問題****************/
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typedef struct CLinkList
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{
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int data;
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struct CLinkList *next;
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}node;
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int main()
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{
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///建立迴圈連結串列
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node *L,*r,*s;
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L = new node;
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r =L;
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int n = 41,i;
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int k = 3;
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for(i = 1;i<=n;i++) //尾插法建立連結串列
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{
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s = new node;
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s->data = i;
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r->next = s;
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r= s;
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}
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r->next =L->next; //讓最後一個結點指向第一個有資料結點
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node *p;
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p = L->next;
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delete L; //刪除第一個空的結點
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///模擬解決約瑟夫問題
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while(p->next != p) //判斷條件:因為最後肯定剩下一個人, 迴圈連結串列的最後一個數據的next還是他本身
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{
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for(i = 1;i<k-1;i++)
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{
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p = p->next; //每k個數死一個人
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}
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cout<<p->next->data<<"->";
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p->next = p->next->next; //將該節點從連結串列上刪除。
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p = p->next;
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}
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cout<<p->data<<endl;
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return 0;
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}
二、公式法
我們假設這41個人編號是從0開始,從1開始報數,第3個人自殺。
1、最開始我們有這麼多人:
[ 0 1 2 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]
2、第一次自殺,則是(3-1)%41=2 這個人自殺,則剩下:
[ 0 1 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]
3、然後就是從編號為3%41=3的人開始從1報數,那麼3號就相當於頭,既然是頭為什麼不把它置為0,這樣從它開始就又是與第1,2步一樣的步驟了,只是人數少了一個,這樣不就是遞迴了!!!就可以得到遞迴公式。想法有了就開始做:
4、把第2步中剩下的人編號減去3對映為:
[ -3 -2 0 1 2 ... 34 35 36 37 ]
5、出現負數了,這樣不利於我們計算,既然是環形,37後面報數的應該是-3,-2,那麼把他們加上一個總數(相當於加上360度,得到的還是它)
[ 38 39 0 1 2 3 ... 34 35 36 37 ]
6、這樣就是一個總數為40個人,報數到3殺一個人的遊戲。
這次自殺的是第5步中的(3-1)%40=2號,但是我們想要的是第2步中的編號(也就是最初的編號)
那最初的是多少?對應回去是5;
這個5是如何得到的呢?是(2+3)%41得到的。大家可以把第5步中所有元素對應到第2步都是正確的。
7、接下來是
[ 35 36 37 38 0 1 2... 31 32 33 34 ]
自殺的是(3-1)%39=2,先對應到第5步中是(2+3)%40=5,對應到第2步是(5+3)%41=8。
8、這下看出來規律了把:
我們是正著推的,如果反過來推導,每次剩下的人的編號為f(i),剩一個人的時候編號一定為0,兩個人為0,1,以此類推,則利用以下公式可以推匯出每次剩下的人。
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f(1)=0;
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f(i)=(f[i-1]+m)%i;(i>1)
程式碼如下:
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#include<iostream>
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using namespace std;
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///推導公式方法
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int yuesefu(int n,int m){
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if(n == 1){
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return 0; //這裡返回下標,從0開始,只有一個元素就是剩餘的元素0
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}
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else{
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return (yuesefu(n-1,m) + m) % n; //我們傳入的n是總共多少個數
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}
-
}
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int main(void){
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int a=41,b=3;
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//遞迴求最後一個存活的編號
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//使用從正向思考
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cout<<"最後一個人是"<<yuesefu(a,b)+1<<endl;
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//反向思考,從自殺的最後一人向前
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int result = 2;
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//第一個自殺的人3號
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cout<<3;
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//每次自殺的都是2號,但是不同的2號換算到最初序號所需的的次數是不同的
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//外迴圈是迴圈不同的換算次數
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for(int i = a; i >= 2 ; i-- )
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{
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result = 2;
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//內迴圈是開始換算
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for(int j = i; j <= a; j++)
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{
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result = (result+b) %j;
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}
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cout<<"->"<<result+1;//0開始變1開始,所以加1
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}
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return 0;
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}
結果是一樣的:
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