題目連結:
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4739
http://uoj.ac/problem/277

不難得出一個結論: 兩圓之間最短路一定沿著圓的公切線走。然後得到如下演算法：每兩個圓之間作公切線(4條)，如果一條公切線不穿過其他圓，就把這兩個點(圖論中的點)之間連上邊，邊權為切線長；同一圓上相鄰兩點連邊，邊權為圓上距離，然後S,T分別向每個圓作切線如果不和其他圓相交就連邊。這樣的話點數、邊數是 $O($

n 2 ) O(n^2) 級別的，使用Dijkstra演算法求最短路即可。時間複雜度瓶頸在於對於一條邊列舉每一個圓去check是否相交，總時間複雜度 $O($

n 3 ) O(n^3) . 奇蹟般地能跑過。
下面重點講解一下我是如何求兩圓公切線以及點和圓的切線的:
先來說兩圓公切線：因為兩圓外離所以一定有 $4$

條公切線， $2$內 $2$外。
考慮先把圓按半徑從大到小排序，現在要從半徑大的圓向半徑小的圓作 $4$條切線。
設兩圓圓心(已知)分別為 $O_1, O_2$, 圓心的直線距離 $O_1O_2=d$, 半徑分別為 $r_1r_2$, 一條外公切線為 $AB$(未知)。
過 $O_2$作 $O_2E\perp AO_1$於 $D$, 則 $AEO_2B$為矩形。 $AE=BO_2=r_2$, $EO_1=AO_1-AE=r_1-r_2$, 又 $O_1E\perp O_2E$, 可用勾股定理算出切線長 $AB=EO_2=\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2}$. 同時有 $\cos \angle EO_1O_2=\frac{r_1-r_2}{d}$, 可利用acos函式算出 $\angle EO_1O_2$的值。然後求出向量 $\vec {OA}=\frac{r_1}{d}\vec v$即可，其中 $\vec v$為 $\vec {O_1O_2}$逆時針旋轉 $\angle EO_1O_2$的向量。
另外一條外公切線同理，把旋轉度數取反即可。
程式碼如下:

   Line tmp; double d = EuclidDist(a[i].o,a[j].o); Vector v; double ang; Point p1,p2;
   //Out 1
   ang = acos((a[i].r-a[j].r)/d); v = rotate(Vector(a[j].o-a[i].o),ang)/d;
   p1 = a[i].o+v*a[i].r,p2 = a[j].o+v*a[j].r;
   tmp = Line(p1,p2);
   //Out 2
   v = rotate(Vector(a[j].o-a[i].o),-ang)/d;
   p1 = a[i].o+v*a[i].r,p2 = a[j].o+v*a[j].r;
   tmp = Line(p1,p2);

對於兩條內公切線，只要 $EO_2=\sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2}$然後計算即可。注意內公切線的向量是一加一減。

   //In 1
   ang = acos((a[i].r+a[j].r)/d); v = rotate(Vector(a[j].o-a[i].o),ang)/d;
   p1 = a[i].o+v*a[i].r,p2 = a[j].o-v*a[j].r;
   tmp = Line(p1,p2);
   //In 2
   v = rotate(Vector(a[j].o-a[i].o),-ang)/d;
   p1 = a[i].o+v*a[i].r,p2 = a[j].o-v*a[j].r;
   tmp = Line(p1,p2);

然後再來看過一點作圓的兩條切線:
和剛才的做法類似，逆時針旋轉向量 $\vec {OP}$ $\arcsin \frac{r}{d}$角即可。然後再除以 $d$乘以 $\sqrt{d^2-r^2}$