二進位制加法

半加器（Half Adder）

半加器的功能是將兩個1位二進位制數相加。輸入埠A、B，輸出埠S（輸出），C（進位）。

其有一個很明顯的缺點：不能將低位的進位參與運算。

全加器（Full Adder）

全加器由兩個半加器構成。輸入埠A、B、C_in，輸出埠S（和）、C_out（進位輸出）。

有了全加器，只要將它簡單的連在一起就能實現多位的加法器。

4-bit 加法器

例如求 (1101)₂ + (0110)₂，答案應該為和為 (0011)₂,進位為1.可以用4個全加器構成4-bit全加器來實現，如圖

顯而易見，這個圖可以推廣，所以這樣就能得到32-bit的加法器。

溢位

檢查加法結果是否溢位

溢位（overflow）:是指運算結果超出了正常的表示範圍

• 溢位僅針對有符號運算而言的，發生溢位有兩種情況：兩個正數相加，結果為負數；兩個負數相加，結果為正數。其實，無符號時可看作是mod 2^k(k是最大位數)，既然取模了，自然不用考慮溢位
• 有溢位不一定有進位、有進位不一定有溢位

• 有符號加法和無符號加法在運算時硬體電路是一樣的，只是對結果的解讀不同

　　　4-bit運算時

 溢位的檢查方法

“最高位的進位輸入”不等於“最高位的進位輸出”，說明產生了溢位。

 經過一個異或門，如果C₃₁

對溢位的處理方式

MIPS

提供對兩種不同指令分別的處理

• 將運算元看作有符號數，發生“溢位”是產生“異常”，如add rd,rs,rt   addi,rt,rs,imm
• 將運算元看作無符號數，不處理“溢位”，如addu rd,rs,rt   addiu rt,rs,imm

X86

設有“溢位標誌OF”（Overflow Flag）。如果把操作看作有符號數，若發生溢位，則自動設定OF=1；否則OF=0。

二進位制減法

原理

• 減法運算可轉換成加法運算
• 只需將負數變成它的補碼，補碼與原碼之間的轉換規則：按位取反、末位加一
• A - B = A + (~B + 1)

實現

這其實是一個加法和減法器，與之前的32-bit加法器相比，在輸入端B多了一個二選一多路選擇器，當sub-mode為0，是加法模式，也沒有來自低位的進位；當sub-mode為1時，是減法模式，首先B按位取反，同此同時sub-mode為是低位的進位，剛好是-B = ~B + 1.

參考連結：https://www.coursera.org/learn/jisuanji-zucheng/lecture/ydYAV/305-jia-fa-he-jian-fa-de-shi-xian