1、前提

void X_Sort ( ElementType A[], int N )//A是一個數組，N是陣列的個數。

• 大多數情況下，為簡單起見，討論從小大的整數排序
• N是正整數
• 只討論基於比較的排序（> = < 有定義）
• 只討論內部排序（這裡只討論記憶體可以裝的下的資料量，如果記憶體裝不下，有些資料在磁碟中，則更復雜。）
• 穩定性：任意兩個相等的資料，排序前後的相對位置不發生改變
• 沒有一種排序是任何情況下都表現最好的

2、氣泡排序

#include<iostream>
using namespace std;
 

typedef int ElementType;

void Bubble_Sort(ElementType A[], int n)
{
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)	//一趟冒泡
	{
		int flag = 0;
		for (int j = 0; j < i; j++)
		{
			if (A[j] > A[j + 1])
			{
				swap(A[j + 1], A[j]);
				flag = 1;	//有元素交換時標識發生變化
			}	
		}
		if (flag == 0)break;	//全程無交換，已經排好序
	}
}

int
 
 main()
{
	int a[] = {4,6,1,8,9,3,7,0};
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	Bubble_Sort(a,len);
	for (int i = 0; i < len; i++)
		cout << a[i] << " ";
	cout << endl;
}

時間複雜度：
最好情況（已經有序，遍歷一遍）：順序T = O( N )
最壞情況（逆序）：逆序T = O( N² )

3、插入排序

初始狀態下只有一個元素，每插入一個元素，將插入的元素與現有的元素從尾到頭比較，將比該元素大的元素依次向後移動，並將該元素插入指定的位置。

#include<iostream>
using namespace std;
typedef int ElementType;

void Insertion_Sort(ElementType A[],int n)
{
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		int tmp = A[i];
		int j;
		for (j = i; j >0 && A[j-1]>tmp; j--)
			A[j] = A[j - 1];
		A[j] = tmp;
	}
}

int main()
{
	int a[] = {4,6,1,8,9,3,7,0};
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	Insertion_Sort(a,len);
	for (int i = 0; i < len; i++)
		cout << a[i] << " ";
	cout << endl;
}

最好情況：順序T = O( N )
最壞情況：逆序T = O( N² )

4、時間複雜度下界

• 對於下標i<j，如果A[i]>A[j]，則稱(i,j)是一對逆序對(inversion)

• 交換2個相鄰元素正好消去1個逆序對！

• 插入排序：T(N, I) = O( N+I )，I為逆序對數量
  —如果序列基本有序，則插入排序簡單且高效

• 定理：任意N個不同元素組成的序列平均具有N(N-1)/4個逆序對。

• 定理：任何僅以交換相鄰兩元素來排序的演算法，其平均時間複雜度為Ω(N²)

• 這意味著：要提高演算法效率，我們必須

  • 每次消去不止1個逆序對！
  • 每次交換相隔較遠的2個元素！