【矩陣論】02——線性空間——基、維數與座標
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本系列文章使用的教材為《矩陣論》(第二版),楊明,劉先忠編,華中科技大學出版社。
基的定義
線上性空間V中,若存在n個元素
α1,α2,......,αn
滿足:
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α1,α2,......,αn線性無關
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V中任意元素α都可用α1,α2,......,αn線性表示。
那麼,α1,α2,......,αn就稱為線性空間的一組基,n稱為線性空間V的維數。
其實線性空間的基,就是求V的極大無關組。其不是唯一的。因此,求基的步驟為:
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求一組線性無關的向量組
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證明此無關組是極大的,也就是可以線性表示V中任意一個元素。
定理
n維線性空間中,任意n個線性無關的向量構成的向量組,都是空間的基。
座標的定義
線上性空間Vn(F)中,設{α1,α2,......,αn}是一組基,β為V中的一個元素,{α1,α2,......,αn,β}線性相關,故β可由α1,α2,......,αn唯一線性表示,因此有
則稱數x1,x2,......,xn是β在基{α1,α2,......,αn}下的座標
注意
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不論Vn(F)為什麼具體的線性空間,只要取定了一組基,Vn(F)中向量在該基下的座標都是線性空間Fn中的向量。由於這一特點,可以用數量矩陣和Rn中的向量來研究一般的線性空間中有關問題的基礎。
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一般同一向量在不同基下的座標是不同的。
同構(詳細瞭解)
加法保持不變,數乘保持不變。
座標關係建立了Vn(F)和Fn的一一對應關係σ。σ滿足
由此,我們可以得出對映關係
(Vn,F,+,。)→(Fn,F,+,.)
線性空間→數域
數域F上,任意一個n維線性空間Vn(F)都和n維線性空間Fn同構。
這種同構關係給人們解決未知空間的問題提出了思想方法,可以利用已知的去推出未知。要做的事就是,人們期望的座標確定了,是已知的,那麼要取得什麼樣的座標呢?這就要找到對映關係σ。有以下定理:
基於Vn(F)和Fn這種一一對應的關係保持線性關係不變,如果不計較向量的具體形式,僅就線性關係而言,Vn(F)中的問題就可以轉到熟悉的方法和已經建立的理論來解決了。