問題的提出

如下圖，假設這裡有一系列的房屋，問如何鋪設電線，可以使得連線所有房屋的電線的總成本最低？這是20世紀20年代早期研究最小生長樹的最初動機。 （捷克數學家OtakarBorůvka完成的工作）。

最短路徑樹與最小生成樹（MST）

上次，我們看到了Dijkstra演算法如何用於在圖中找到最短路徑樹。請注意，最短路徑樹可能不是MST，反之亦然。為什麼這麼說呢？
最小生成樹（或MST）是總成本最低的生成樹。
最短路徑樹(Shortest Path Tree, SPT)，是一種使用最短路徑演算法生成的資料結構樹。
一個是成本最低，一個是路徑最短。
假設有一個圖如下：

那麼對於星號節點而言，它的最短路徑樹（左圖），和最小生成樹（右圖）分別如下圖所示。

MST演算法的發展

• Borůvka提出的原始MST演算法（1926）現在稱為Borůvka演算法。
• 後來，捷克數學家VojtěchJarník（1930）發明了一種現在稱為Prim演算法的演算法。
• 之後，美國數學家Joseph Kruskal（1956）開發了現在稱為Kruskal演算法的演算法，這就是我們今天要呈現的演算法。

Kruskal’s Algorithm

這個演算法聽起來似乎很簡單：從圖表中刪除所有邊。 反覆找到造成迴圈的且花費最小的邊並將其添加回來。 最終的結果就是整個圖的MST
用虛擬碼可以表示為這樣：

function kruskal(graph):
//從圖中移除所有邊
	Remove all edges from the graph.
	//將所有邊放入優先順序佇列（基於它們自身的權重）
	Place all edges into a priority queue，based on their weight 
	//當優先順序佇列不為空時
	While the priority queue is not empty:
	//將邊從優先順序佇列中取出
		Dequeue an edge e from the priority queue.
		//如果這條邊新增上圖中不會構成迴圈，則將此邊新增到圖中
		If e's endpoints doesn’t create a cycle ，add that edge into the graph.
		//否則，跳過該邊
		Otherwise, skip the edge.

 

來看下面的一幅帶權圖，我們試著用這種方法來找到該圖的最小生成樹。

1. 首先我們先將圖中的所有邊刪除，用虛線表示刪除的邊

此時，優先順序佇列的情況是這樣的：
pq = {a:1, b:2, c:3, d:4, e:5, f:6, g:7, h:8, i:9, j:10, k:11, l:12, m:13, n:14, o:15, p:16, q:17, r:18}

2. 根據演算法，我們從優先順序佇列中取出隊頭 a:2.將它新增到圖中，發現不構成環狀，於是新增到圖中（實線部分）
3. 接著我們繼續將優先順序佇列中的其他元素新增到圖中，接下來是b:2,結果符合要求，於是加到佇列中：
   
   
   
4. 重複此次步驟。
5. 當新增邊到e:5時，我們發現此時構成了一個環狀（紅色部分），因此這條邊不能加在圖中，應該跳過這個邊，繼續新增接下來的邊（如圖）：
   
6. 當優先順序中的佇列為空時，表明我們已經將所有的邊都遍歷了一遍，此時生成的結果就是我們要找的MTS，如圖：
   
7. 結果
   Kruskal’s 演算法會按如下順序輸出所需的 MST:
   {a, b, c, d, f, h, i, k, p}
   而 MST’s 總花費（權重）為:
   1+2+3+4+6+8+9+11+16 = 60