多源最短路徑問題，即為求每一對頂點之間的最短路徑問題

• 演算法描述

  • 演算法思想原理：

    • Floyd演算法是一個經典的動態規劃演算法。用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態規劃的角度看問題，我們需要為這個目標重新做一個詮釋（這個詮釋正是動態規劃最富創造力的精華所在）
    • 從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j，2是從i經過若干個節點k到j。所以，我們假設Dis(i,j)為節點u到節點v的最短路徑的距離，對於每一個節點k，我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短，我們便設定Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來，當我們遍歷完所有節點k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j的最短路徑的距離。

  • 演算法描述：

    • a.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大。
    • b.對於每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。

• 演算法複雜度：

  

• 演算法程式碼片段

/* 鄰接矩陣儲存 - 多源最短路演算法 */
 
bool Floyd( MGraph Graph, WeightType D[][MaxVertexNum], Vertex path[
 
][MaxVertexNum] )
{
    Vertex i, j, k;
 
    /* 初始化 */
    for ( i=0; i<Graph->Nv; i++ )
        for( j=0; j<Graph->Nv; j++ ) {
            D[i][j] = Graph->G[i][j];
            path[i][j] = -1;
        }
 
    for( k=0; k<Graph->Nv; k++ )
        for( i=0; i<Graph->Nv; i++ )
            for
 
( j=0; j<Graph->Nv; j++ )
                if( D[i][k] + D[k][j] < D[i][j] ) {
                    D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
                    if ( i==j && D[i][j]<0 ) /* 若發現負值圈 */
                        return false; /* 不能正確解決，返回錯誤標記 */
                    path[i][j] = k;
                }
    return true; /* 演算法執行完畢，返回正確標記 */
}

Reference

• 最短路徑演算法表示