第二章：資訊的表示和處理

1.二進位制與十六進位制：

①十六進位制數字：0 – F，例子：25A4B
② 二進位制數字：0 – 1，例子：0001 0111 0011 1010 0100 1100
③相互轉換：十進位制→ 十六進位制：Mod（10，16）（倒序排列）

2.字和資料大小：

① 字長決定了系統虛擬地址空間的最大大小，對於典型32位機器而言，虛擬地址範圍為0 - 232-1，程式最多訪問232，所以32位機器支援最大記憶體為4G。
②一般資料型別的位元組數，重點為指標型別的位元組數為全字長。

3.定址和位元組順序：

分為大端法和小端法，IBM和Sun的個人計算機通常使用大端法。

4.布林代數與位級運算：

①基本位運算子：|（邏輯或），&（邏輯與），~（邏輯非），^（邏輯異或）
②重要結論：a^a = 0（通過異或交換兩個變數的值）

5.移位運算及其重要結論：

6.整數的表示：

①無符號數的編碼.
②補碼的編碼.
③有符號數與無符號數之間的轉換.
④截斷數字.

7.整數運算：

①無符號數的加法：
重要結論：模數加法形成了阿貝爾群，可交換結合，每個元素都有一個加法逆元。
②補碼加法;
③補碼的非;
④無符號乘法;
⑤補碼乘法:
重要結論：設為二進位制表示的無符號整數，對於任意k0,有以下公式：
即：一個二進位制表示數乘以，相當於在位模式右邊補了k個0（不溢位的情況），相當於一種移位操作，C表示式中x << k等價於 x * pwr2k，許多C語言編譯器檢視以移位，加法和減法的組合來消除很多整數乘以常數的情況。
例如：x*14，利用等式14=，編譯器將乘法重寫為(x<<3)+(x<<2)+(x<<1)，實現將一個乘法替換為三個移位運算和三個加法，減少時鐘週期提高運算效率。
⑥補碼除法：
向零舍入：即乘法的逆運算，執行算數右移k位即除以，因為移位導致結果向下舍入，根據向零舍入的要求，通過偏置， = 可以得到正確的舍入結果。

8. 浮點數的IEEE表示：

① IEEE浮點表示：

1. 符號：s通過其值1負和0正決定V的正負，對於V=0另作解釋。
2. 尾數：M是一個二進位制小數，它的範圍是1 – 2-ε，或者0 – 1-ε
3. 階碼：E的作用是對浮點數加權，權重是2的E次冪（可能是負數）

②通過將浮點數的位劃分為3個欄位，分別進行編碼，類似科學計數法：

1. 1個單獨的符號位s，直接編碼符號s
2. k位的階碼欄位，exp=ek-1···e0，編碼解碼E
3. n位的小數字段，frac=fn-1···f0，編碼尾數M，但是該值依賴於E是否為0

③ 浮點表示的三種情況：

1. 規格化的值：
   普遍情況，當exp不全為0，也不全為1，此情況解碼以偏置形式表示有符號整數，即E = e – Bias，e是無符號數，e表示為階碼位的編碼ek-1···e0，而Bias是一個等於(單精度k=8，雙精度k=11)的偏置值，由此產生指數的取值範圍即：（單精度-126～+127，雙精度-1022～+1023），對於frac解釋為描述小數值f，期中0≤f＜1，其二進位制表示為0.fn-1···f0，當尾數定義為M
   = 1+f時，叫做隱含以1開頭的表示，所以M = 1.fn-1···f0，因為二進位制的基數是2，且我們總能在不溢位的範圍內調整階碼，使得尾數M的範圍總在1≤M＜2中，符合IEEE定義M的範圍，從而表示小數。
2. 非規格化的值：
   當階碼exp域全0，階碼值為E = 1-Bias，而尾數值為M = f，不包含隱含開頭都 1（為什麼），非規格化的值用來表示0和非常接近0的小數，因為規格化要求M≥1，所以無法表示0，實際上+0.0的浮點表示位模式全0，而當符號位為1時候得到-0.0，逐漸溢位的屬性使得數值均勻的接近0.0（？）
3. 特殊值：
   當階碼exp域全1，當frac全0表示無窮，根據符號位的表示的正負來確定正負無窮，無窮能表示溢位的結果，當小數域非零時，NaN被稱為不是一個數的縮寫，一些運算結果為虛數，無法表示。

9.浮點表示的整數與補碼錶示整數之間的關係：

以十進位制數12345為例，其補碼二進位制表示為[00000000000000000000001100000011 1001],用IEEE浮點型表示，將小數點左移13位，得到12345 = 1.10000001110012,丟棄開頭1，由於32位s=1，k=8，n=23，所以在末尾追加10個0，得到[10000001110010000000000]，即frac欄位，因為E = e – Bias，即e = 13 + 127，得其階碼二進位制表示為10001100，加上符號為0，得到單精度12345二進位制表示為[01000110010000001110010000000000]，與[000000000000000000000011000000111001]在紅線處相同，這說明相關區域對應整數低位，恰好在等於1的最高位之前相同，因為此標準略去開頭位1，其餘部位都是相配的。

10.舍入規則：

向偶數舍入：使得最低有效位為偶數的舍入方法，來確定浮點數的近似值（IEEE預設）。

11.浮點運算：

1.IEEE定義簡單規則：把浮點值x,y看成實數，某個運算⊙定義在實數上，算數計算產生Round（x⊙y），其結果對精確結果進行了舍入。
2.浮點運算因為精度受限不滿足結合律，例如：(3.14+e10)-e10=0.0,3.14+(e10-e10)=3.14,這是浮點運算構成代數系統最缺少的群屬性。
3.浮點數滿足單調性屬性，如果有a≥b，則有x + a≥x + b（？）
4.C語言雖然有float和double型別，但是未明確要求機器滿足IEEE標準。

總結：

精讀第二章之後，我們更加深刻地理解了什麼叫做資訊=位+上下文，可以這樣說：系統中所有的資訊——包括磁碟檔案、儲存器中的程式、儲存器中存放的使用者資料以及網路上傳送的資料，都是一串位元表示的。區分不同資料物件的唯一方法是我們讀到這些資料物件時的上下文。比如，在不同的上下文中，同樣的位元組序列可能表示一個整數、浮點數、字串或者及其指令。