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數據結構與算法學習筆記之 適合大規模的數據排序

時間復雜度 規模 數組 輸出 數據規模 tmp nlogn lan 情況

前言

  在數據排序的算法中,不同數據規模應當使用合適的排序算法才能達到最好的效果,如小規模的數據排序,可以使用冒泡排序、插入排序,選擇排序,他們的時間復雜度都為O(n2),大規模的數據排序就可以使用歸並排序和快速排序,時間復雜度為O(nlogn)。今天我們就來看一下歸並排序和快速排序

正文

  歸並排序的原理

  核心思想(分治思想):

    排序數組,將數組從中間分成前後兩部分,對前後兩部分分別排序,然後合在一起,這個數組就是有序的。

  歸並排序的性能分析

  1.歸並排序是一個穩定的排序算法:在合並的過程中,如果A[p...q]和A[q+1...r]之間中有相同的元素,先把A[p...q]中的元素放入tmp數組。這樣就保證了值相同的元素,在合並前後的先後順序不變。

  2.歸並排序的時間復雜度是O(nlogn):在解決遞歸問題時,我們得出一個結論:遞歸問題可以寫成遞推公式,遞歸代碼的時間復雜度也可以寫成遞推公式

  我們假設對n個元素進行歸並排序需要的時間是T(n),那分解成兩個子數組排序的時間都是T(n/2),套用結論可以得到歸並排序的時間復雜度的計算公式就是:

  

T(1) = C;   n=1 時,只需要常量級的執行時間,所以表示為 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n; n>1

再次將這個公式分解:

T(n) = 2*T(n/2) + n
     = 2*(2*T(n/4) + n/2) + n = 4*T(n/4) + 2*n
     
= 4*(2*T(n/8) + n/4) + 2*n = 8*T(n/8) + 3*n = 8*(2*T(n/16) + n/8) + 3*n = 16*T(n/16) + 4*n ...... = 2^k * T(n/2^k) + k * n ......

我們可以得到T(n)=2^kT(n/2^k)+kn.當T(n/2^k)=T(1)時,也就是n/2^k=1,我們將得到k=log2n,問你將k帶入公式得到

T(n)=Cn+nlog2n

用大O標記法來表示為T(n) 就等於 O(nlogn)

而且時間復雜度是非常穩定的:最好情況,最壞情況,還是平均情況,時間復雜度都是O(nlogn)

  

  3、歸並排序的空間復雜度為O(n)

  歸並排序的致命缺點:歸並排序不是原地排序算法(在合並兩個有序數組時,需要借助額外的存儲空間)

遞歸代碼的空間復雜度並不能像時間復雜度那樣累加、盡管每次合並操作都需要申請額外的內存空間,但在合並完成之後、臨時開辟的內存空間就被釋放掉了、臨時內存空間最大也不會超過 n 個數據的大小

  快速排序的原理

   如果要排序數組中下標從p到r之間的一組數據,我們選擇p到r之間的任意一個數據作為pivot(分區點),遍歷數據,見小於pivot的放在右邊,大於pivot放在左邊。這樣數組就分成了三部分,用遞歸排序下標從 p 到 q-1 之間的數據和下標從 q+1.到r之間的數據,直到區間縮小為1,說明數據都有序
  快速排序的時間復雜度為O(1):在排序過程中,假如遇到需要移動數據的,我們可以之間用交換的思想

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  空間復雜度為O(1)

快速排序和歸並排序的區別?

看圖:

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處理過程的差異:

  遞歸排序:先處理子問題再合並

  快速排序:先分區,再處理子問題

歸並排序雖然穩定,是時間復雜度為O(nlogn)的排序算法,但是它不是原地排序算法,合並過程中需要額外的空間。

  

快速排序的性能分析

  遞歸代碼的時間復雜度,如果每次分區操作,都能正好將數組分為兩個大小相等的兩個小區間,那快速排序的遞推公式和遞推排序是相同的,所以,快排的時間復雜度為O(nlogn)

  但是,每次都分得那麽均勻是非常難實現的。

T(n)在大部分情況下的時間復雜度都可以做到O(nlogn),只有在極端情況下才會退化為O(n2).

後記

  遞歸和快排都是分治的思想,代碼都通過遞歸來實現,過程非常相似。歸並排序時間復雜度都非常穩定為O(nlogn),但是每次合並的時候都需要額外的空間,空間復雜度非常高為是O(n),快速排序算法雖然最壞時間復雜度為O(n2),但是平均時間復雜度為O(nlogn),最壞的情況我們也可以避免。

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作者:Dawnzhang
出處:https://www.cnblogs.com/clwydjgs/

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