什麽是動態樹？

動態樹（Dynamic Tree）問題是指在樹上動態維護相關信息的問題。

一般的動態樹問題中，會要求我們維護一個由若幹棵子結點無序的有根樹組成的森林。並且要求這個數據結構支持對樹的分割（刪邊），合並（加邊），對某個點到它的根的路徑的某些操作（路徑操作）。有時，動態樹問題還會涉及對某個點的子樹進行的某些操作（子樹操作），而涉及子樹操作問題的動態樹問題更加復雜，需要用到更加復雜的數據結構。然而蒟蒻並不會做這種高級的題目，所以就講講簡單的幾種操作。

關於LCT的一些筆記

LCT（Link-Cut Trees）是解決這類動態樹問題的一種數據結構。這個數據結構可以在均攤O(log n)的時間內實現上述動態樹問題。

LCT 的詳細介紹，大家可以參考楊哲的《QTREE 解法的一些研究》，這裏貼文庫鏈接：https://wenku.baidu.com/view/75906f160b4e767f5acfcedb.html

簡單來說，LCT 與樹鏈剖分一樣，會對節點的兒子進行劃分。樹鏈剖分中根據節點子樹大小來劃分輕重兒子，並用數據結構維護重鏈；而 LCT 則會將兒子劃分為虛、實兩種兒子，相應的邊稱為虛邊或實邊，且任意時刻一個節點最多只會有一個實兒子（可能沒有）。由於樹的形態會改變，因此 LCT 不是嚴格的劃分虛實兒子，而是動態地改變，它同樣使用了數據結構來維護實鏈（連續的實邊），並且用的是更加靈活的 Splay.

關於LCT的一些基本定義：

1.深度：深度越大（小），到根節點路徑的距離越長（短）。

2.實邊：一個非葉節點，向它的兒子中的一個連一條特殊的邊，稱為實邊；該非葉節點向它的其他兒子所引的邊均為虛邊。註意，對於某些非葉節點，它與它兒子們所連的邊可能全部是虛邊。

3.實路徑（鏈）：由若幹條實邊首尾相連而成的、不可伸長的路徑稱為實路徑。由實邊的定義可知，實路徑上的點深度各不相同且為連續自然數。其中，不可伸長指的是，設一個實路徑上最淺節點為 u，則 u 和 u 的父節點之間的邊不能是實邊；設一個實路徑最深節點為 v，則 v和它兒子們所連的邊全是虛邊。

4.實路徑的父親：可以得出各條實路徑之間是由虛邊連接，對於一條實路徑，我們定義它的實路徑父親（Path_Parent）為它的最淺的節點的父親，如下圖：

其中紅色路徑為實路徑，那麽對於2-5-6這條實路徑，它的實路徑的父親就為2的父親，即為1。

關於與LCT的一些基本操作

用 Splay維護實路徑：由於每條實路徑是由首尾相連的實邊構成的，因此實路徑上任意兩個點都是祖先與子孫的關系。換句話說，如果用深度作為關鍵字給結點排序，那麽我們將得到一個唯一的有序結點序列。

基於這個思想，我們將這個結點序列用平衡樹維護，平衡樹中每個結點的左子樹中結點在實路徑中的深度都小於該結點，右子樹中的都大於該結點，因此平衡樹的最左結點對應該路徑的頭部，最右結點對應該路徑的尾部。

一些基本操作（註意：在操作過程中並不需要考慮Splay的形態，而是只用考慮當前樹的形態）：

1.Access(x)：以x為起點一直到根節點構造出一條鏈。

這是針對某個結點 x 的操作， 該操作將 x 到根結點的路徑上的所有邊都變為實邊， 當然，為了保持實邊、虛邊劃分的性質，一部分原來的實邊也要相應變為虛邊。註意該操作會將 x下方的實邊變為虛邊。該操作的步驟如下：

（1）：如果結點 x 不是其所在實路徑的尾部， 即 x有子結點與之用實邊相連， 那麽需要 “斷開”這條邊（斷開並不是將這條邊刪除，而只是將其轉變為虛邊）。方法是首先將結點 x用 Splay操作旋轉到所在平衡樹的根結點，然後 x 肯定有右子樹，故將 x 與 x的右子樹分離，同時將 x 的右子樹的 Path_Parent 設置為 x。

（2）：如果結點 x所在的平衡樹包含根結點，那麽該過程結束；否則，轉步驟(3)；

（3）：設 y 為 x 所在平衡樹的 Path_Parent。將 y 用 Splay 操作旋轉到其所屬平衡樹的根結點，並且用 x 所在的平衡樹替換 y的右子樹，這樣就實現了實路徑的向上延伸。當然到這裏還沒有結束，我們需要分離原來 y 的右子樹，y原來的右孩子記為 P。此時 P 的 Path_Parent就為 y了，然後繼續轉步驟(2)。

實際實現時， 我們並不需要顯示維護出 Path_Parent， 我們可以稍微更改 Splay中的實現，即我們考慮 Splay中根節點的 fa，我們並不需要將其置為 0，而是將其置為 Path_Parent，這樣每個點的父親，要麽是實路徑上的點，要麽是它所處實路徑的 Path_Parent，特別地，這棵樹的根節點的 Path_Parent 為 0。這樣的話一個點，它的 fa的左右兒子可能都不為它，因此判斷根節點的條件也需要稍微修改一下。下面給出具體實現過程的圖示（紅邊表示實邊，帕金森晚期患者）：

因為維護的關鍵字為深度，所以刪除前Splay上肯定有x的子樹那一段，所以將x通過Splay旋轉到根節點處，直接將x的右子樹與它分離，並把右子樹的Path_Parent改為x（實際操作並不需要）

需要註意的是，將y的右子樹換成x所在平衡樹後，原右子樹的Path_Parent就變成了y。

2.Findroot(x)：找到節點x所在樹的根節點。

有了 Access(x)操作，尋找樹根的操作就So easy了。我們只要對結點 x 執行Access(x)，便使得 x 與要找的根結點在同一棵平衡樹中了。然後，要找的根結點一定是實路徑的頭部（因為深度最小），即平衡樹中的最左結點。

圖示：

3.Makeroot(x)：使節點x成為所在樹的根節點。

首先我們觀察下面這個圖：

對於一棵有根樹而言，它的父子關系是確定了的，圖中由父親指向兒子。

那麽如果我們把2作為整棵樹的根呢？那麽它就會長這樣：

如果還沒發現規律的話，我們再以5為整棵樹的根：

沒錯，以誰為根，就是將該點到根節點路徑父子關系取反，所以該操作等價於將從結點 x到當前根結點的路徑上的所有樹邊的方向取反。首先執行 Access(x)，我們便已經將該路徑取出了。由於路徑是用平衡樹維護，所以需要執行的是平衡樹的區間翻轉操作，我們可以借鑒線段樹的打標記（懶操作）思想，給平衡樹結點也用打標記的方式來完成反序操作。這裏由於是對整棵平衡樹反序，所以標記應該打在平衡樹的根結點處。打標記後註意在其他操作的地方（例如旋轉後）及時下傳以及更新。

4.Link(x,y)：使x成為y的子節點，也就是連一條(x,y)的邊

這只需要執行一次 MakeRoot(x)操作，隨後將x的fa置為y即可。

圖示：

5.Cut(x,y)：刪除樹中(x,y)這條邊

該操作執行時，首先將 x 置為有根樹的根結點，從而保證 y一定是 x 的子結點。再對 y執行 Access 操作，我們便將 x 和 y 合並到同一平衡樹中了。此時對 y 執行 Splay 操作使其成為所在平衡樹的根結點，同時分離 y和 y 的左子樹，便完成了邊的刪除操作。（此時若樹中存在(x,y)這條邊，則 y的左子樹一定只有 x 這一個節點）。

圖示：

6.Select(x,y)：取出（x，y）在樹中的路徑從而進行區間操作。

執行一次 MakeRoot(x)將 x 置為其所在樹的根，再執行一次 Access(y)操作，就將 x 與 y以及它們路徑上的所有點整合至同一棵平衡樹中了。 此時我們在平衡樹的根節點上打上標記或者直接查詢信息即可。

圖示：

然後就是關於LCT的一些奇奇怪怪的例題，這裏給一道：

BZOJ2049：洞穴勘探，題目及題解傳送門：（啦啦啦待更）

關於動態樹和LCT的一些學習感受（持續更新）