一、直線掃描轉換算法——DDA畫線算法

備註：DDA（Digital Differential Analyzer） ---> 數值微分法

1. 引進圖形學中的一個很重要的思想——增量思想

2. 算法原理

采用直線的斜截式方程進行推理，坐標系為光柵像素坐標系，可用坐標僅為整數坐標點。

y_i = kx_i + b

y_i+1 = kx_i+1 + b = k (x_i + 1) + b = kx_i + k + b = kx_i + b + k = y_i + k

由以上兩式得： y_i+1 = y_i + k （當前步的Y值等於前一步的Y值加上斜率）

目的：將原來的乘法和加法變成了一個加法！

3. 示例

用DDA掃描轉換連接兩點P₀（0,0）和P₁（5,3）的直線段1° 計算斜率 k = 0.6 < 1

2° 根據公式 y_i+1 = y_i + k 計算趨近的像素坐標點：

【註意】此處Y加上0.5是做了四舍五入的處理，減少誤差！

二、直線掃描轉換算法——中點畫線算法

改進：將DDA中的浮點運算變成整數加法！

1. 引入直線的一般式方程：

F（x，y）= 0 ----> Ax + By + C = 0

其中：A = -（?y）；B = （?x）；C = -B（?x）；

2. 基本數學知識：

1° 對於直線上的點： F（x，y）= 0

2° 對於直線上方的點：F（x，y）> 0

3° 對於直線下方的點：F（x，y）< 0

3. 算法原理：每次在最大位移方向上走一步，而另一個方向是走還是不走步取決於中點誤差項的判斷。

將M點的坐標代入直線方程中：

d_i = F（x_m, y_m）= F（x_i + 1, y_i + 0.5）= A（x_i + 1）+ B（y_i + 0.5）+ C

分三種情況：

當 d < 0 時：M在Q下方，應取P_u；

當 d > 0 時：M在Q上方，應取P_d；

當 d = 0 時：M在直線上，選P_d或P_u均可；

4. 引入增量思想的改進

1° 情況1：

推導d值的遞推公式：

d₀ = F（x_m0, y_m0）= F（x_i + 1, y_i + 0.5）= A（x_i

d₁ = F（x_m1, y_m1）= F（x_i + 2, y_i + 1.5）= A（x_i + 2）+ B（y_i + 1.5）+ C

= A（x_i + 1）+ B（y_i + 0.5）+ C + A + B = d₀ + A + B

2° 情況2：

同理推導得：

d₁ = F（x_i + 2, y_i + 0.5）= A（x_i + 2）+ B（y_i + 0.5）+ C

= A （x_i + 1）+ B（y_i + 0.5）+ C + A = d₀ + A

3° d的初始值的計算

d₀ = F（x₀ + 1, y₀ + 0.5）= A（x₀ + 1）+ B（y₀ + 0.5）+ C

= Ax₀ + By₀ + C + A + 0.5B = A + 0.5B

4° 綜上：

三、直線掃描轉換算法——Bresenham算法

1. 基本思想

該算法的思想是通過各行、各列像素中心構造一組虛擬網格線，按照直線起點到中點的順序，計算直線與各垂直網格線的交點，然後根據誤差項的符號確定該列像素中與此交點最近的像素；假設每次x+1，y的遞增（減）量為0或1，它取決於實際直線與最近光柵網格點的距離，這個距離的最大誤差為0.5；

2. 原理

誤差項d的初值d₀ = 0， 每一步 d = d + k，一旦d ≥1，就把它減去1，保證d的相對性，且在0、1之間。

得到公式：

1° 提高效率到整數加法：令 e = d - 0.5 得：；

2° 由於算法中只用到誤差項的符號，於是可以用 e*2*?x替換e；

3. 算法步驟：

1° 輸入直線的兩端點P0（x0, y0）和P1（x1, y1）;

2° 計算初始值?x、?y、e = -?x， x = x0、y = y0；

3° 繪制點（x, y）;

4° e更新為e + 2?y，判斷e的符號。若e>0，則（x，y）更新為（x+1，y+1），同時將e更新為e-2?x；否則（x, y）更新為(x+1, y)；

5° 當直線沒有畫完時，重復步驟3和4。否則結束。

CG-光柵圖形學直線掃描轉換算法-學習筆記