洛谷P4891 序列(勢能線段樹)
阿新 • • 發佈:2018-09-25
turn fin https 分析 print 利用 行修改 勢能函數 寶寶
比mb要小,那麽設置對答案沒有影響,直接打上區間設置標記後退出;否則繼續遞歸直到找到葉子節點,進行修改後退出。
洛谷題目傳送門
閑話
考場上一眼看出這是個毒瘤線段樹準備杠題,發現實在太難調了,被各路神犇虐哭qwq
考後看到各種優雅的暴力AC。。。。。。寶寶心裏苦qwq
思路分析
題面裏面是一堆亂七八糟的限制和性質,這時候需要冷靜想想有沒有可利用的地方。蒟蒻一開始往勢能線段樹上面想了想。
定義一個全局勢能函數,為所有\(C_i<B_i\)的位置個數。註意兩個操作的修改都不會小於原來的數。
一個是改\(A\),相當於對\(C\)進行區間設置,此時我們每暴力找到一個原來\(C_i<B_i\)但是現在\(C_i\ge y\)的位置,就需要在線段樹內跳\(\log\)層,再修改,勢能函數就會下降。如果碰到那些修改以後對勢能沒有影響的子區間,就跳過而不繼續暴力遞歸下去。
一個是改\(B\),是單點修改,線段樹內跳\(\log\)層,勢能函數至多加\(1\)。
於是,如果我們能夠維護信息,從而判斷和控制哪裏該暴力遞歸、哪裏該跳過的話,我們總的在線段樹內跳的次數不會超過\((n+q)\log n\)。
下面用a代替了\(C\),b代替了\(B\)。蒟蒻在線段樹裏維護了:
- pa:區間所有a<b的位置的a的積
- pb:區間所有a>=b的位置的b的積
- ma:區間a的最大值
- mb:區間所有a<b的位置的b的最小值,沒有則設成INF
- cnt:區間所有a<b的位置的總數
- la:bool型變量,區間設置懶標記
修改a的時候,利用單調不降的性質,我們在線段樹上先通過二分來對需要修改的若幹個子樹進行定位。對於當前子區間,如果當前設置值\(y\)
修改b就比較輕松,只要找到對應的葉子節點改完後一路回溯即可。
很多事都是說起來容易做起來難,這題也不例外。調試幾乎花了整個晚上。要註意的細節很多,也只好自己仔細思考了。
時間復雜度\(O(n\log n+q\log^2n)\),上界很松。多出來的\(\log\)是區間改a時需要快速冪更新pa造成的。
跑了不到200ms,比什麽樹套樹、分塊還是要好看一點,但是被暴力碾壓也是有點無奈啊~
#include<bits/stdc++.h> #define RG register #define R RG int #define I inline #define G if(++ip==ie)fread(ip=buf,1,N,stdin) using namespace std; typedef long long LL; const LL N=1<<18,YL=1e9+7; char buf[N],*ie=buf+N,*ip=ie-1; int y,a[N]; I int in(){ G;while(*ip<‘-‘)G; R x=*ip&15;G; while(*ip>‘-‘){x*=10;x+=*ip&15;G;} return x; } I LL qpow(RG LL b,R k){//快速冪 RG LL a=1; for(;k;k>>=1,(b*=b)%=YL) if(k&1)(a*=b)%=YL; return a; } struct Node{//個人認為寫指針比較直觀(貌似immortalCO也有這樣的看法) Node*lc,*rc;bool la; LL pa,pb;int l,r,m,ma,mb,cnt; I void up(){//上傳 pa=lc->pa*rc->pa%YL; pb=lc->pb*rc->pb%YL; ma=max(lc->ma,rc->ma); mb=min(lc->mb,rc->mb); cnt=lc->cnt+rc->cnt; } I void dn(){//下傳區間設置標記 if(la){ lc->ma=rc->ma=ma; lc->la=rc->la=1;la=0; lc->pa=qpow(ma,lc->cnt); rc->pa=qpow(ma,rc->cnt); } } I void build(R s,R e){//建樹 l=s;r=e;m=(s+e)>>1;la=0; if(s==e){ ma=a[l];mb=in(); (cnt=ma<mb)?(pa=ma,pb=1):(pa=1,pb=mb,mb=YL); return; } (lc=new Node)->build(l,m); (rc=new Node)->build(m+1,r); this->up(); } I void upda(){//區間修改a if(y<mb){//對區間勢能沒有影響 pa=qpow(ma=y,cnt);la=1; return; } if(l==r){//到了葉子節點 ma=y;pa=1;pb=mb;mb=YL;cnt=0; return; } this->dn(); lc->upda();rc->upda(); this->up(); } I void updb(R s){//單點更新b if(l==r){//仔細判斷三種情況再修改 if(ma<pb)mb=y; else if(ma<y)pa=ma,pb=cnt=1,mb=y; else pb=y; return; } this->dn(); (s<=m?lc:rc)->updb(s); this->up(); } I void bound(R s){//線段樹二分定位,註意細節 if(s==l&&ma<y)return this->upda(); if(l==r)return; this->dn(); if(s>m)return rc->bound(s),this->up(); if(lc->ma<y)rc->bound(m+1); lc->bound(s); this->up(); } }; int main(){ R n=in(),q=in(),op,x; for(R i=1;i<=n;++i)a[i]=max(a[i-1],in()); RG Node rt;rt.build(1,n); while(q--){ op=in();x=in();y=in(); op?rt.updb(x):rt.bound(x); printf("%lld\n",rt.pa*rt.pb%YL); } return 0; }
洛谷P4891 序列(勢能線段樹)