BZOJ4012 [HNOI2015]開店 (動態點分治)
Description
風見幽香有一個好朋友叫八雲紫,她們經常一起看星星看月亮從詩詞歌賦談到
人生哲學。最近她們靈機一動,打算在幻想鄉開一家小店來做生意賺點錢。這樣的 想法當然非常好啦,但是她們也發現她們面臨著一個問題,那就是店開在哪裏,面 向什麽樣的人群。很神奇的是,幻想鄉的地圖是一個樹形結構,幻想鄉一共有 n 個地方,編號為 1 到 n,被 n-1 條帶權的邊連接起來。每個地方都住著一個妖怪, 其中第 i 個地方的妖怪年齡是 x_i。妖怪都是些比較喜歡安靜的家夥,所以它們並 不希望和很多妖怪相鄰。所以這個樹所有頂點的度數都小於或等於 3。妖怪和人一 樣,興趣點隨著年齡的變化自然就會變化,比如我們的 18 歲少女幽香和八雲紫就 比較喜歡可愛的東西。幽香通過研究發現,基本上妖怪的興趣只跟年齡有關,所以 幽香打算選擇一個地方 u(u為編號),然後在 u開一家面向年齡在 L到R 之間(即 年齡大於等於 L、小於等於 R)的妖怪的店。也有可能 u這個地方離這些妖怪比較 遠,於是幽香就想要知道所有年齡在 L 到 R 之間的妖怪,到點 u 的距離的和是多 少(妖怪到 u 的距離是該妖怪所在地方到 u 的路徑上的邊的權之和) ,幽香把這個 稱為這個開店方案的方便值。幽香她們還沒有決定要把店開在哪裏,八雲紫倒是準 備了很多方案,於是幽香想要知道,對於每個方案,方便值是多少呢。Input
第一行三個用空格分開的數 n、Q和A,表示樹的大小、開店的方案個數和妖
怪的年齡上限。 第二行n個用空格分開的數 x_1、x_2、…、x_n,x_i 表示第i 個地點妖怪的年 齡,滿足0<=x_i<A。(年齡是可以為 0的,例如剛出生的妖怪的年齡為 0。) 接下來 n-1 行,每行三個用空格分開的數 a、b、c,表示樹上的頂點 a 和 b 之 間有一條權為c(1 <= c <= 1000)的邊,a和b 是頂點編號。 接下來Q行,每行三個用空格分開的數 u、 a、 b。對於這 Q行的每一行,用 a、 b、A計算出 L和R,表示詢問“在地方 u開店,面向妖怪的年齡區間為[L,R]的方 案的方便值是多少”。對於其中第 1 行,L 和 R 的計算方法為:L=min(a%A,b%A), R=max(a%A,b%A)。對於第 2到第 Q行,假設前一行得到的方便值為 ans,那麽當 前行的 L 和 R 計算方法為: L=min((a+ans)%A,(b+ans)%A), R=max((a+ans)%A,(b+ans)%A)。Output
對於每個方案,輸出一行表示方便值。
Sample Input
10 10 100 0 7 2 1 4 7 7 7 9
1 2 270
2 3 217
1 4 326
2 5 361
4 6 116
3 7 38
1 8 800
6 9 210
7 10 278
8 9 8
2 8 0
9 3 1
8 0 8
4 2 7
9 7 3
4 7 0
2 2 7
3 2 1
2 3 4
Sample Output
1603957
7161
9466
3232
5223
1879
1669
1282
0
HINT
滿足 n<=150000,Q<=200000。對於所有數據,滿足 A<=10^9
題解
這題正解是動態點分治(不過據說主席樹+樹鏈剖分跑得更快?)
如果不知道什麽是動態點分的可以去看看幻想鄉的戰略遊戲->蒟蒻的題解
這一道題,我們考慮對於每一個點分樹上的點維護什麽。我們記錄三個值,$sz_0$表示子樹內的點數之和,$sz_1$表示子樹內所有點到其的距離之和,$sz_2$表示子樹內所有點到其父親的距離之和。那麽考慮我們在跳點分樹的時候要如何維護答案呢?很明顯$sz_1[u]+\sum sz_1[fa]-sz_2[p]+(sz_0[fa]-sz_0[p])*dist(fa,u)$就是在點分樹上與$u$的$LCA$是$fa$的所有點的距離之和,其中$fa$為$p$的父親,$p$為從$u$不斷跳父親直到根,那麽只要不斷枚舉$fa$,並不斷往上跳並維護答案就可以了。
然而上面只是為了方便理解,因為具體的計算不是這樣的。我們對於$u$點內部的貢獻可以直接計算,然後考慮往上跳。在上述的式子中如果一個點$p$有$fa$,那麽答案就要減去$sz_0[p]*dist(fa,u)+sz_2[p]$,如果一個點不是$u$那麽答案就要加上$sz_0[p]+dist(p,u)$,然後每一個點都要加上自己的$sz_1$。按這個規律在跳點分樹的時候不斷加就好了
然後考慮怎麽在$[l,r]$之內,很明顯可以搞一個差分,把每一個節點在點分樹上的子樹內的所有年齡的距離之和加起來,在做前綴和,那麽在年齡$[l,r]$的人數就是$[1,r]-[1,l-1]$
1 //minamoto 2 #include<cstdio> 3 #include<iostream> 4 #include<cstring> 5 #include<vector> 6 #include<algorithm> 7 #define ll long long 8 #define N 150005 9 using namespace std; 10 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++) 11 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; 12 template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;} 13 inline int read(){ 14 #define num ch-‘0‘ 15 char ch;bool flag=0;int res; 16 while(!isdigit(ch=getc())) 17 (ch==‘-‘)&&(flag=true); 18 for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num); 19 (flag)&&(res=-res); 20 #undef num 21 return res; 22 } 23 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z; 24 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;} 25 inline void print(ll x){ 26 if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x; 27 while(z[++Z]=x%10+48,x/=10); 28 while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=‘\n‘; 29 } 30 int head[N],Next[N<<1],ver[N<<1],edge[N<<1]; 31 int n,tot,val[N],q,maxn; 32 int st[N<<1][19],d[N],dfn[N],num,bin[25],tp,logn[N<<1]; 33 inline void add(int u,int v,int e){ 34 ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e; 35 ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot,edge[tot]=e; 36 } 37 inline void ST(){ 38 for(int j=1;j<=tp;++j) 39 for(int i=1;i+bin[j]-1<=(n<<1);++i) 40 st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+bin[j-1]][j-1]); 41 } 42 void dfs1(int u,int fa){ 43 st[dfn[u]=++num][0]=d[u]; 44 for(int i=head[u];i;i=Next[i]){ 45 int v=ver[i]; 46 if(v==fa) continue; 47 d[v]=d[u]+edge[i],dfs1(v,u),st[++num][0]=d[u]; 48 } 49 } 50 int fa[N],sz[N],son[N],size,rt;bool vis[N]; 51 void dfs2(int u,int fa){ 52 sz[u]=1,son[u]=0; 53 for(int i=head[u];i;i=Next[i]){ 54 int v=ver[i]; 55 if(vis[v]||v==fa) continue; 56 dfs2(v,u),sz[u]+=sz[v],cmax(son[u],sz[v]); 57 } 58 cmax(son[u],size-sz[u]); 59 if(son[u]<son[rt]) rt=u; 60 } 61 inline ll dis(int a,int b){ 62 if(dfn[a]>dfn[b]) a^=b^=a^=b; 63 int k=logn[dfn[b]-dfn[a]+1]; 64 return d[a]+d[b]-(min(st[dfn[a]][k],st[dfn[b]-bin[k]+1][k])<<1); 65 } 66 struct node{ 67 int val;ll sz[3]; 68 node(int a=0,ll b=0,ll c=0,ll d=0){val=a,sz[0]=b,sz[1]=c,sz[2]=d;} 69 inline bool operator <(const node &b)const 70 {return val<b.val;} 71 }; 72 vector<node> sta[N]; 73 void dfs3(int u,int f,int rt){ 74 sta[rt].push_back(node(val[u],1,dis(u,rt),fa[rt]?dis(u,fa[rt]):0)); 75 for(int i=head[u];i;i=Next[i]){ 76 int v=ver[i]; 77 if(v==f||vis[v]) continue; 78 dfs3(v,u,rt); 79 } 80 } 81 void dfs4(int u){ 82 vis[u]=true; 83 dfs3(u,0,u);sta[u].push_back(node(-1,0,0,0)); 84 sort(sta[u].begin(),sta[u].end()); 85 for(int i=0,j=sta[u].size();i<j-1;++i) 86 sta[u][i+1].sz[0]+=sta[u][i].sz[0], 87 sta[u][i+1].sz[1]+=sta[u][i].sz[1], 88 sta[u][i+1].sz[2]+=sta[u][i].sz[2]; 89 for(int i=head[u];i;i=Next[i]){ 90 int v=ver[i]; 91 if(vis[v]) continue; 92 rt=0,size=sz[v]; 93 dfs2(v,0),fa[rt]=u,dfs4(rt); 94 } 95 } 96 inline node query(int id,int l,int r){ 97 if(id==0) return node(); 98 vector<node>::iterator it1=upper_bound(sta[id].begin(),sta[id].end(),node(r,0,0,0));--it1; 99 vector<node>::iterator it2=upper_bound(sta[id].begin(),sta[id].end(),node(l-1,0,0,0));--it2; 100 return node(0,it1->sz[0]-it2->sz[0],it1->sz[1]-it2->sz[1],it1->sz[2]-it2->sz[2]); 101 } 102 inline ll calc(int u,int l,int r){ 103 ll res=0; 104 for(int p=u;p;p=fa[p]){ 105 node a=query(p,l,r); 106 res+=a.sz[1]; 107 if(p!=u) res+=a.sz[0]*dis(p,u); 108 if(fa[p]) res-=a.sz[2]+a.sz[0]*dis(fa[p],u); 109 } 110 return res; 111 } 112 int main(){ 113 ll ans=0; 114 n=read(),q=read(),maxn=read(); 115 bin[0]=1,logn[0]=-1; 116 for(int i=1;i<=20;++i) bin[i]=bin[i-1]<<1; 117 while(bin[tp+1]<=(n<<1)) ++tp; 118 for(int i=1;i<=(n<<1);++i) logn[i]=logn[i>>1]+1; 119 for(int i=1;i<=n;++i) val[i]=read(); 120 for(int i=1;i<n;++i){ 121 int u=read(),v=read(),e=read(); 122 add(u,v,e); 123 } 124 dfs1(1,0),ST(); 125 rt=0,son[0]=n+1,size=n,dfs2(1,0); 126 dfs4(rt); 127 while(q--){ 128 int a=read(),b=read(),c=read(); 129 b=(b+ans)%maxn,c=(c+ans)%maxn; 130 if(b>c) b^=c^=b^=c; 131 print(ans=calc(a,b,c)); 132 } 133 Ot(); 134 return 0; 135 }
BZOJ4012 [HNOI2015]開店 (動態點分治)