最小生成樹算法詳解（prim+kruskal）
最小生成樹概念：
一個有 n 個結點的連通圖的生成樹是原圖的極小連通子圖，且包含原圖中的所有 n 個結點，並且有保持圖連通的最少的邊。 最小生成樹可以用kruskal（克魯斯卡爾）算法或prim（普裏姆）算法求出。最小生成樹其實是最小權重生成樹的簡稱。
prim:
普裏姆算法（Prim算法），圖論中的一種算法，可在加權連通圖裏搜索最小生成樹。意即由此算法搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖裏的所有頂點（英語：Vertex (graph theory)），且其所有邊的權值之和亦為最小。
prim算法求最小生成樹的時候和邊數無關，和頂點樹有關，所以適合求解稠密網的最小生成樹。
prim算法的步驟包括：
1. 將一個圖分為兩部分，一部分歸為點集U，一部分歸為點集V，U的初始集合為{V1}，V的初始集合為{ALL-V1}。
2. 針對U開始找U中各節點的所有關聯的邊的權值最小的那個，然後將關聯的節點Vi加入到U中，並且從V中刪除（註意不能形成環）。
3. 遞歸執行步驟2，直到V中的集合為空。
4. U中所有節點構成的樹就是最小生成樹。
實現圖解：
| 圖例 | 說明 | 不可選 | 可選 | 已選（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
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此為原始的加權連通圖。每條邊一側的數字代表其權值。 | - | - | - |
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頂點D被任意選為起始點。頂點A、B、E和F通過單條邊與D相連。A是距離D最近的頂點，因此將A及對應邊AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
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下一個頂點為距離D或A最近的頂點。B距D為9，距A為7，E為15，F為6。因此，F距D或A最近，因此將頂點F與相應邊DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
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算法繼續重復上面的步驟。距離A為7的頂點B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
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在當前情況下，可以在C、E與G間進行選擇。C距B為8，E距B為7，G距F為11。E最近，因此將頂點E與相應邊BE高亮表示。 | 無 | C, E, G | A, D, F, B |
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這裏，可供選擇的頂點只有C和G。C距E為5，G距E為9，故選取C，並與邊EC一同高亮表示。 | 無 | C, G | A, D, F, B, E |
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頂點G是唯一剩下的頂點，它距F為11，距E為9，E最近，故高亮表示G及相應邊EG。 | 無 | G | A, D, F, B, E, C |
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現在，所有頂點均已被選取，圖中綠色部分即為連通圖的最小生成樹。在此例中，最小生成樹的權值之和為39。 | 無 | 無 | A, D, F, B, E, C, G |
再來一張比較容易懂的圖片：
(a):一個無向圖，記錄了各點之間的權值關系
(b):在圖中選擇一個與{v1}連接最小的點v3
(c):選擇一個與{v1,v3}連接最小的點v6
(d):選擇一個與{v1,v3,v6}連接最小的點v4
(e):選擇一個與{v1,v3,v6,v4}連接最小的點v2
(f):選擇一個與{v1,v3,v6,v4,v2}連接最小的點v5
生成完畢。
Kruskal算法（並查集實現）
Kruskal是一種用來尋找最小生成樹的算法，在剩下的所有未選取的邊中，找最小邊，如果和已選取的邊構成回路，則放棄，選取次小邊。
實現過程
1).記Graph中有v個頂點，e個邊
2).新建圖Graphnew，Graphnew中擁有原圖中相同的e個頂點，但沒有邊
3).將原圖Graph中所有e個邊按權值從小到大排序
4).循環：從權值最小的邊開始遍歷每條邊 直至圖Graph中所有的節點都在同一個連通分量中 if 這條邊連接的兩個節點於圖Graphnew中不在同一個連通分量中 添加這條邊到圖Graphnew中
圖例描述：
首先第一步，我們有一張圖Graph，有若幹點和邊
將所有的邊的長度排序，用排序的結果作為我們選擇邊的依據。這裏再次體現了貪心算法的思想。資源排序，對局部最優的資源進行選擇，排序完成後，我們率先選擇了邊AD。這樣我們的圖就變成了下圖
在剩下的變中尋找。我們找到了CE。這裏邊的權重也是5
依次類推我們找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面繼續選擇， BC或者EF盡管現在長度為8的邊是最小的未選擇的邊。但是現在他們已經連通了（對於BC可以通過CE,EB來連接，類似的EF可以通過EB,BA,AD,DF來接連）。所以不需要選擇他們。類似的BD也已經連通了（這裏上圖的連通線用紅色表示了）。最後就剩下EG和FG了。當然我們選擇了EG。
代碼：
prim;
#include<stdio.h> #include<string.h> #include <iostream> #include <bits/stdc++.h> #define IO ios::sync_with_stdio(false);\ cin.tie(0); cout.tie(0); #define MAX 0x3f3f3f3f using namespace std; int logo[1010];//用來標記0和1 表示這個點是否被選擇過 int map1[1010][1010];//鄰接矩陣用來存儲圖的信息 int dis[1010];//記錄任意一點到這個點的最近距離 int n;//點個數 int prim() { int i,j,now; int sum=0; /*初始化*/ for(i=1; i<=n; i++) { dis[i]=MAX; logo[i]=0; } /*選定1為起始點，初始化*/ for(i=1; i<=n; i++) { dis[i]=map1[1][i]; } dis[1]=0; logo[1]=1; /*循環找最小邊，循環n-1次*/ for(i=1; i<n; i++) { now=MAX; int min1=MAX; for(j=1; j<=n; j++) { if(logo[j]==0&&dis[j]<min1) { now=j; min1=dis[j]; } } if(now==MAX) break;//防止不成圖 logo[now]=1; sum+=min1; for(j=1; j<=n; j++)//添入新點後更新最小距離 { if(logo[j]==0&&dis[j]>map1[now][j]) dis[j]=map1[now][j]; } } if(i<n) printf("?\n"); else printf("%d\n",sum); } int main() { while(scanf("%d",&n),n)//n是點數 { int m=n*(n-1)/2;//m是邊數 memset(map1,0x3f3f3f3f,sizeof(map1));//map是鄰接矩陣存儲圖的信息 for(int i=0; i<m; i++) { int a,b,c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); if(c<map1[a][b])//防止重邊 map1[a][b]=map1[b][a]=c; } prim(); } }
kruskal:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; int n, m,sum; struct node { int start,end,power;//start為起始點，end為終止點，power為權值 } edge[5050]; int pre[5050]; int cmp(node a, node b) { return a.power<b.power;//按照權值排序 } int find(int x)//並查集找祖先 { if(x!=pre[x]) { pre[x]=find(pre[x]); } return pre[x]; } void merge(int x,int y,int n)//並查集合並函數，n是用來記錄最短路中應該加入哪個點 { int fx=find(x); int fy=find(y); if(fx!=fy) { pre[fx]=fy; sum+=edge[n].power; } } int main() { while(~scanf("%d", &n), n)//n是點數 { sum=0; m=n*(n-1)/2;//m是邊數，可以輸入 int i; int start,end,power; for(i=1; i<=m; i++) { scanf("%d %d %d", &start, &end, &power); edge[i].start=start,edge[i].end=end,edge[i].power=power; } for(i=1; i<=m; i++) { pre[i]=i; }//並查集初始化 sort(edge+1, edge+m+1,cmp); for(i=1; i <= m; i++) { merge(edge[i].start,edge[i].end,i); } printf("%d\n",sum); } return 0; }
最小生成樹算法詳解（prim+kruskal）